Bestimmung einer geschlossenen konvexen Fläche durch ihr Linienelement. 41 
auf die Kugel bezüglichen Satz hat Hilbert geführt); am schönsten 
ergibt er sich aber wieder als ein spezielles, in der Minkowski’schen 
Theorie enthaltenes Resultat. 
Ich will nun hier einen Weg angeben, auf dem man zur Kon- 
statierung der gleichen Tatsache für eine beliebige geschlossene 
Fläche gelangt; dabei werde ich zu diesem Unitätssatz: dass es nicht 
zwei verschiedene geschlossene konvexe Flächen mit demselben Linien- 
element gibt, gleich noch den entsprechenden Existenzsatz hinzu- 
fügen : Zu einem vorgegebenen Linienelement mit positiver Krümmung 
gibt es stets eine und nur eine geschlossene konvexe Fläche. Alle inneren 
Eigenschaften einer Fläche sind, wie man weiss, bestimmt durch das 
Linienelement. Durch Angabe desselben ist die Fläche so, wie sie 
in sich selber beschaffen ist, unabhängig von der Art ihres Ein- 
gebettetseins in den Raum, vollständig beschrieben. Durch eine 
positiv-definite quadratische Differentialform von zwei Variablen, die 
als Quadrat des Linienelements aufgefasst werden soll, wird dem- 
nach eine (metrische) Fläche in abstracto, losgelöst vom Raum, defi- 
niert.?) Dieselbe wird konvex heissen dürfen, wenn die Krümmung 
der Differentiailform durchweg positiv ist. Unsere Behauptung lässt 
sich demnach, prinzipieller gewendet, dahin aussprechen: dass eine 
jede in abstracto gegebene geschlossene konvexe Flüche eine einzige Reali- 
sierung im dreidimensionalen (Euklidischen) Raum zulässt. Die Be- 
ziehung zwischen „Idee“ und „Wirklichkeit“ ist hier also die denk- 
bar vollkommenste. 
Es ist in der Infinitesimalgeometrie üblich, die Punkte einer 
Fläche durch zwei Parameter «, v darzustellen, d.i. die Fläche auf 
eine u,v-Ebene abzubilden. Für eine als Ganzes zu nehmende ge- 
schlossene Fläche ist jedoch eine eineindeutige stetige Abbildung auf 
die Ebene offenbar nicht möglich, wohl aber eine solche auf die 
Kugeloberfläche — wenigstens dann, wenn die Fläche einfach zu- 
sammenhängend, insbesondere wenn sie konvex ist. Eine Abbildung 
dieser Art wird allgemein festgelegt durch die Formel 
r= KiE,; Eur &) rn r((8)). 
In ihr bedeutet (£) = (&,,&,,&,) einen variablen Punkt auf der Ein- 
heitskugel 
2e+ 28-1, 
r aber denjenigen Vektor, dessen Komponenten die Koordinaten des 
dem Kugelpunkt (£) zugeordneten Flächenpunktes P sind: r = OP 
!) Grundlagen der Geometrie (3. Aufl., Leipzig 1909), Anh. V, S. 237. 
2) Vgl. hierzu Riemanns Habilitationsvortrag „Über die Hypothesen welche 
der Geometrie zugrunde upen Werke (2. Aufl, Leipzig 1892), S. — 387. 
