ee: - H, Wegl. 
r((£)) ist also ein auf der ganzen Einheitskugel definiertes Vektor- 
feld. Wir dehnen die Definition dieser Vektorfunktion auf alle Argu- 
mentwerte (&,, &, &,) # (0, 0,0) aus durch die Festsetzung | 
(1) (8,0, 0) tler 
für beliebiges *> 0. Eine Funktion mit der Eigenschaft (1) nennen wir 
„homogen von der Ordnung 0“; die Homogenitätseigenschaft bezieht 
sich demnach hier wie auch sonst, wo wir von homogenen Funk- 
tionen beliebiger Ordnung reden, nur auf Multiplikation mit einem 
positiven Proportionalitätsfaktor r. Wir nehmen an, dass r((£)) stetig 
differentiierbar ist, und können dann die erste Fundamentalform, das 
Quadrat des Linienelementes der Fläche bilden: 
= 9 Hr 
Br > ee EA HERE 
s = (di) = endE.der; ed de 
Die e;. sind dabei homogen von der Ordnung —2 und genügen den 
Gleichungen 
3 
(2) PH = 0 (i — 1; 2, 3). 
k=1 
Ein Ausdruck 
3 ei. 
& e,.dE;d$, (er = &i) 
kl \ 
wird nur dann als „quadratische Differentialform auf der Einheitskugel“ 
betrachtet, wenn die (auf der Kugel definierten) Koeffizienten e,, den 
Gleichungen (2) genügen. Positiv-definit heisst dieselbe, wenn in 
jedem Kugelpunkt (&) die quadratische Form 
8 
2 0,.%%, > 0 
nReı 
ist für jedes Wertsystem x,,x,,2,, das den Bedingungen 
+ =l,2, +%-+2%5 = 0 
genügt. In diesem Sinne ist das Quadrat des Linienelementes positiv- 
definit. Bilden wir die zur Matrix der Koeffizienten (e,.) adjungierte 
(d;.) [welche aus den zweireihigen Unterdeterminanten besteht], so er- 
geben die Relationen (2), dass 
d, = 88, D 
ist. D heisst die Diskriminante der quadratischen Form. Sie ist 
für positiv-definite Formen positiv. Die positive Wurzel aus der 
Diskriminante von (dt)? bezeichnen wir mit A. 
do = 4-do 
