Bestimmung einer geschlossenen konvexen Fläche durch ihr Linienelement. 43 
ist dasjenige Oberflächenelement der Fläche (seiner Grösse nach), das 
dem Flächenelement do der Einheitskugel korrespondiert. 
Setzen wir nunmehr auch die Existenz und Stetigkeit der zweiten 
Differentialquotienten von r((£)) voraus, so können wir von der 
Gauss’schen Krümmung K = K((£)) der Fläche reden. Wir fassen eine 
geschlossene doppelpunktslose Kurve 
(3) C:&=&6) @=1,2,3) 
auf der Fläche ins Auge, die ein Gebiet ./ umschliesst, und nehmen 
dabei an, dass die &,(s) zweimal stetig differentiierbare Funktionen 
von s sind (die Kurve „stetig gekrümmt“ ist) und der Parameter s 
die Bogenlänge bedeutet. @ besitzt dann an jeder Stelle eine be- 
stimmte geodätische Krümmung 7 =y(s), die auf Grund der Kurven- 
gleichung (3) und der ersten Fundamentalform der Fläche berechnet 
werden kann.!) Wir nennen /yds die totale geodätische Krüm- 
mung von & und 2 — f yds ihren geodätischen Defekt. Derselbe ist, 
wie bekannt, gleich der totalen Gauss’schen Krümmung des um- 
schlossenen Gebietes’): 
(4) 2x — [yds = f Kdo. 
€ J 
Ist s eine beliebig vorgegebene, positiv-definite quadratische Diffe- 
rentialform auf der Kugel, so wird eine Funktion K = K((£)), welche 
für jede Kurve € der erwähnten Beschaffenheit die Gleichung (4) be- 
friedigt, jedenfalls dann existieren, wenn die Koeffizienten e,. von 8 
zweimal stetig differentiierbar sind. Diese hinreichende Bedingung 
ist aber — wie der soeben besprochene Fall zeigt, in dem s die erste 
Fundamentalform einer Raumfläche vorstellt — keineswegs notwendig. 
Damit ergibt sich naturgemäss folgende scharfe Fassung des Be- 
griffes der „Fläche an sich“: 
Jede positiv-definite quadratische Differentialform s auf der Ein- 
heitskugel bestimmt eine geschlossene Flüche in abstracto: (8). Jeder 
Punkt der Einheitskugel wird als Bild eines Punktes dieser Fläche be- 
trachtet, verschiedene Punkte auf der Kugel als Bilder verschiedener 
Punkte der Fläche. Die Länge einer beliebigen Flüchenkurve ist ge- 
geben durch das ne der Bildkurve zu erstreckende Integral von Ys. 
Das Vorzeichen von y hängt davon ab, welches der beiden re in die 
die bee durch & zerlegt wird, als das Innengebiet J aufgefasst 
?) Die Gültigkeit dieser Beziehung wird in der Tat bereits Auch die Existenz 
und Stetigkeit der 2. Differentialquotienten von r((£)) sichergestellt; der 3. Ab- 
leitungen, die üblicherweise in der Flächentheorie zu ihrem Beweise herangezogen 
werden, bedarf es dazu nicht. 
