44 H. Weyl. 
Zwei Differentialformen bestimmen dann und nur dann dieselbe Fläche, 
wenn sie durch eineindeutige Abbildung der (&)-Kugel auf sich selbst 
ineinander übergeführt werden können. — Sind die Koeffizienten von 8 
stetig differentiierbar und gibt es eine stetige Funktion K= K((£)) 
derart, dass für jede geschlossene, doppelpunktlose, stetig gekrümmte Kurve 4 
der geodätische Defekt gleich dem Integral 
S Kdo (= [K4- do) 
über das umschlossene Gebiet wird, so sagen wir, die Fläche sei stetig 
gekrümmt und besitze die Krümmung K. Ist K überall positiv, so 
heisst die Fläche konvex. 
Wir haben zu zeigen: 
Ist 8 eine quadratische Differentialform auf der Kugel, die eine 
stetig gekrümmte konvexe Fläche in abstracto festlegt, so gibt es ein 
zweimal stetig differentiierbares Vektorfeld = v((&)) auf der Kugel, 
welches die Gleichung (dr)? = 8 befriedigt. Dasselbe ist in dem Sinne 
eindeutig bestimmt, dass je zwei verschiedene Lösungen x dieser Glei- 
chung durch eine (auf die Komponenten von tr anzuwendende) lineare 
orthogonale Transformation mit konstanten Koeffizienten auseinander 
hervorgehen. 
In der Tat wird, wenn die Gleichung (dr) = s gelöst ist, an 
zwei verschiedenen Kugelpunkten der Vektor r auch immer zwei 
verschiedene Werte haben. Sagt man nämlich von dem Kugelpunkt 
(&), dem durch r—= r(($)) der Raumpunkt P(OP = r) zugewiesen ist, 
er „liege über P“, so erscheint die Kugel als unverzweigte und un- 
begrenzte Überlagerungsfläche über der einfach zusammenhängenden 
konvexen Raumfläche r = r((£)), und diese Überlagerungsfläche muss 
infolgedessen einblättrig sein.') 
Um nirgendwo eine Lücke zu lassen, will ich noch die Formeln 
angeben, mit Hülfe deren die geodätische Krümmung 7 aus der Form 
s= 2 eds. der 
zu berechnen ist. Man ermittelt sie am einfachsten, indem man die 
erste Variation des Längenintegrals auf der Fläche bildet. Sei also 
= E&ls;e) (=1,2,3) HS3<IH 
eine Kurvenschar, deren einzelne Individuen durch den um 0 herum 
variierenden Parameter & unterschieden werden und die alle den- 
selben Anfangspunkt mit demselben Endpunkt verbinden; für die Aus- 
') Mit Bezug auf diesen Schluss vgl. mein Buch „Die Idee der Riemannschen 
Fläche“ (Leipzig 1913), S. 47. 
