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Bestimmung einer geschlossenen konvexen Fläche durch ihr Linienelement. 45 
gangskurve & — 0) bedeute s die auf der Fläche gemessene Bogenlänge. 
Setzen wir, durch Akzente die Differentiation nach s bezeichnend, 
F= ZenEidr, 
ik 
so soll also !=1 sein füre=0. Die Länge einer beliebigen Kurve 
der Schar ist gegeben durch 
Ba 
L()= f YFas; 
so 
‚die erste Variation ist 
db aYF _ Ad OyF\ a 
ET N2 (i d& ds dErf de ‚ds, 
Alle folgenden Formeln beziehen sich auf <= 0. Durch Ausdifferen- 
tiieren (unter Berücksichtigung der Gleichung #= 1) nimmt der 
Ausdruck in der geschweiften Klammer die Form an: 
„ 7) n hk rg 
(5) - — Ze k —z| i ]& Eh. 
Es treten darin die Christoffel’schen Symbole 
hky _ 1 je den denk 
[% ir Erde OEn De 08 } 
auf. Differentiiert man die Relation (2) nach &,, die Gleichung F=1 
aber nach s, so ergibt sich ohne weiteres, dass 
26,8, =(, 20,8 = 
ist. Demnach lassen sich die drei Grössen @, durch eine einzige @ 
folgendermassen ausdrücken: 
6) =), = WER). = 5), 
und wir haben 
dL r- de de 
we Selb ara de 
Da der Integrand demnach eine Invariante ist, d. h. unabhängig von 
der zugfunde gelegten Abbildung der Fläche (s) auf die (&)-Kugel, 
ist — eine invariante Ortsfunktion längs der Ausgangskurve und offen- 
bar die gesuchte geodätische Krümmung 7: 
(7) Ä G=y-4. 
Die Gleichungen (5), (6), (7) enthalten also die formelmässige Fest- 
legung des Begriffes der geodätischen Krümmung. 
