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$ 2. Ansatz des Problems. 
Das quadrierte Linienelement der Einheitskugel lautet, wenn wir 
jeden ihrer Punkte sich selber zuordnen: 
z8- 2a} — (2&:d6i)* 
(28) 
= (dr?) — & e).di;dE, — 
i,k 
Die Methode, mittels deren wir die Realisierung einer in abstracto 
gegebenen Fläche (s) bewerkstelligen wollen, ist eine Art Kontinui- 
tätsmethode. Wir denken uns (s°) durch einen stetigen Prozess in (8) 
übergeführt, wobei alle Zwischenzustände wiederum (abstrakte) kon- 
vexe Flächen sind, und versuchen, diesem raumlos sich vollziehenden 
Vorgang durch Deformation der Kugel im Raume kontinuierlich zu 
folgen. Es sei also 
ni Zug Zeu(r)dEidE ((sr<I1) 
eine stetig von dem Parameter r abhängige Schar von positiv-definiten 
quadratischen Differentialformen, deren Anfangsglied (r = 0) mit s°, 
deren Endglied (r= 1) mit s übereinstimmt; ausserdem sei (s.) für 
alle r stetig gekrümmt und konvex. Wir werden alsbald zeigen, 
dass eine solche Kette von konvexen Flächen (s.), die den Über- 
gang von der Kugel zur gegebenen Fläche (s) bewirkt, stets gefunden 
werden kann, sogar in der Weise, dass die Koeffizienten e;.(r) regulär- 
analytische Funktionen von r sind. Wir suchen 
E > t(r) ne ie; &, 85; r) 
so zu bestimmen, dass 
(8) (di (2)) = + (r)dE;dE, 
wird und für e—=0 sich r auf r° reduziert. Wenn diese Aufgabe 
überhaupt eine Lösung hat, so besitzt sie gewiss auch eine solche, 
bei der für jeden Wert von r 
(9) Srdo = 0 
ist, wo sich die Integration über die ganze Kugel erstreckt.- 
Bezeichnen wir Differentiation nach r durch einen übergesetzten 
Punkt, so folgt aus (8): 
* 1 1 
(10) de-di = =A wdEdE, = — 
und aus (9): # 
