Bestimmung einer geschlossenen konvexen Fläche durch ihr Linienelement. 47 
Betrachten wir in (10) für einen bestimmten Wert von r die konvexe 
Fläche r—=r((£)) und die Differentialform s als die gegebenen Grössen, 
das Vektorfeld r((&)) als das gesuchte, so ist uns damit offenbar fol- 
gendes inhomogene lineare Problem gestellt: Eine gegebene konvexe 
Fläche „unendlich wenig“ so zu deformieren, dass ihre erste Fundamental- 
form die „unendlichkleine“ Änderung 8 erführt ; x((£)) ist die „unendlich- 
kleine“ Verschiebung, welche der Punkt ($&) auf der Fläche bei der 
Deformation erleidet. Das zugehörige homogene Problem ist das der 
unendlichkleinen Verbiegung, dessen einzige Lösungen die „unendlich- 
kleinen“ Bewegungen 
t=a-+[b,r] 
sind (a und b zwei konstante Vektoren). Obwohl dieses somit sechs 
linear unabhängige Lösungen besitzt, werden wir feststellen, dass 
das inhomogene Problem stets lösbar ist, wie auch die rechte Seite, 
d.h. die Form 8 vorgeschrieben sein mag. Dies wird den 1. Teil unserer 
Untersuchung ausmachen. Es verhält sich demnach die lineare 
Gleichung (10) so, wie sich ein System von endlichvielen linearen 
Gleichungen mit endlichvielen Unbekannten verhalten würde, in wel- 
chem die Anzahl der Gleichungen um 6 geringer ist als die Zahl 
der Unbekannten. Ist r eine Lösung von (10), so erhält man die 
allgemeinste, indem man zu t eine beliebige Lösung des homogenen 
Problems hinzufügt. Man kann also zunächst dafür sorgen, dass 
die Gleichung (11) erfüllt ist. Wegen (9) befriedigt auch die den 
willkürlichen konstanten Vektor b enthaltende Lösung t + |b,r] die 
Gleichung (11). Man kann aber b so bestimmen, dass 
Sk +; r} r]do = 0 
wird; denn für keinen konstanten Vektor b+0 kann das Integral 
t =/IIß, #1: r] do 
b-t= — [[b,r]’do <O 
ist. Wir sehen also, dass sich die Lösung t von (10) eindeutig nor- 
mieren lässt durch die Bedingungen 
Stdo=0, Slvt]ldo = 0. 
Die so gewonnene Lösung werde, indem F das Zeichen für eine 
„Funktionen-funktion“*!) ist, durch 
t=F(t; 8) 
verschwinden, weil 
bezeichnet. 
») Während eine gewöhnliche Funktion eine Zuordnung zwischen Zahlen 
stiftet, ordnet F dem willkürlichen Funktionenpaar r;8 eine Funktion r zu. 
