Bestimmung einer geschlossenen konvexen Fläche durch ihr Linienelement. 51 
2. Teil (Integration der funktionalen Differentialgleichung durch 
eine Potenzreihe) nur den ersten Schritt tun, für welchen die Kugel 
die Ausgangsfläche bildet ($ 5); was aber endlich den 3. Teil an- 
geht, mich auf eine kurze Darlegung des dabei zu beachtenden Haupt- 
punktes beschränken ($ 6). In $ 5 wird also insbesondere der Satz 
vollständig bewiesen werden, dass zu jedem vorgegebenen Linienelement, 
das hinreichend wenig von dem der Kugel abweicht, eine geschlossene 
Fläche gehört. 
$ 3. Vektoren auf einer Fläche. 
Anders als in den beiden ersten Paragraphen werden wir uns 
bei der Durchführung der einzelnen Beweisschritte der gewöhnlichen 
Darstellung einer Fläche ‘5 durch zwei Parameter «,v:r=r(u, v) 
bedienen. Wir können dann freilich nicht die ganze geschlossene 
Fläche einheitlich darstellen; dieser Übelstand kommt aber überhaupt 
nicht zur Geltung, wenn wir ausschliesslich mit invarianten Funk- 
tionen auf der Fläche rechnen, d. h. solchen, die unabhängig sind von 
der Wahl des u, v-Systems. Ich verstehe unter n(«w,v) den in Rich- 
tung der äusseren Normalen aufgetragenen Einheitsvektor und führe 
die 1. und 2. Fundamentalform der Fläche ein: 
s = dt? — edu? + 2fdudv + gdv?, 
S = dr -dn = Edu” + 2 Fdudv + @dv?, 
Für eine konvexe Fläche sind sie beide positiv-definit. Die Wurzel 
aus der Diskriminante von s bezeichne ich mit 
4=Yeg —f”. | 
Ist a ein Vektorfeld auf der Fläche, d.h. ist jedem Punkt P der 
Fläche ein ön der Tangentenebene von P liegender Vektor a zugeordnet, 
so setze ich 
dr dr 
te a it 
so dass für jede unendlichkleine Verrückung dr auf der Fläche 
a-dr = a,du + a,dv 
ist. a,,a, nenne ich die Komponenten von a in der Parameter- 
darstellung (x,v) und schreibe a = (a,,a,). Bei Übergang zu andern 
Parametern u,v erfahren demnach die „Komponenten“ a,,a, eine 
solche Transformation, dass das Differential a,du + a,dv invariant 
bleibt. Setzt man 
dr dr 
3 Pr u 05: 79) 
