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so besteht zwischen den Grössen « und a dieser Zusammenhang: 
ed, + fe, = (du Fu, -+ga,=4,. 
Daraus geht hervor, dass jedem invarianten Differential a,du + a,dv 
auf der Fläche ein eindeutig bestimmtes Vektorfeld a = (a,,a,) auf 
ihr entspricht. Ist p eine gegebene Ortsfunktion auf 7, so ist ins- 
besondere 
grad 9 = (du 9) 
ein solches invariantes Vektorfeld: 
dp = grad g dr. 
Sind a = (a,,a,), b = (b,,b,) zwei Vektorfelder auf 3, so ist 
(15) [«, 6] zur uh 
offenbar eine invariante Ortsfunktion auf der Fläche; dabei ist frei- 
lich angenommen, dass 5% mit einem bestimmten positiven Drehungs- 
sinn ausgestattet ist. — Integriert man adr um ein unendlichkleines 
Koordinatenparallelogramm, so erkennt man, dass auch 
(16) | Curl a4) 
eine invariante Ortsfunktion ist. Es gilt für jede geschlossene, in 
Gebiet / umgrenzende Kurve € auf % mit stetiger Tangente: 
Sadr = [Curla do. 
E J : 
In dieser Gleichung liegt die eigentliche sachgemässe Definition des 
Curl, wie wir sie im folgenden zugrunde legen wollen: Gibt es zu 
a eine stetige Funktion o auf 7, so dass für jede Kurve € der be- 
schriebenen Art die Gleichung 
f de = ; o.do 
gilt, so nennen wir die eindeutig durch a bestimmte Funktion e den 
Curl a. Derselbe kann sehr wohl auch dann existieren, wenn a nicht . 
stetig differentiierbar ist. Z. B. ist stets, wenn p und » stetig diffe- 
rentiierbare Funktionen sind, 
Curl (p- grad v) = [grad 9, grad U]; 
die Existenz der zweiten Ableitungen von r ist. Hay keineswegs 
erforderlich. 
Vergleicht man die Tatsache der Invarianz von (15) mit der 
von b,du + b,dv, so erkennt man, dass bei Em zu neuen Para- 
