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Wir gebrauchen die bisher besprochenen, von der Differential- 
form s* abhängigen Ausdrücke im folgenden so gut wie ausschliess- 
lich für den Fall, dass s* die 2. Fundamentalform $ der Fläche 
ist und werden daher die auf diese bezüglichen Grössen ohne den 
Index 8 schreiben.') 
Es ist eine bekannte Tatsache?), dass durch 
de* 
„=-— |& ER + (9 gr + (gu — ey) pr — {2} *)], 
- I[E-FHne Ha mr-wr] 
ein invariantes Vektorfeld (»=c = (c,,c,) auf % gegeben wird; die 
-hierin vorkommenden Christoffel’schen Dreiindizessymbole beziehen 
sich auf die 1. Fundamentalform der Fläche «ist = 0. &=0 
fasst die Codazzi’schen Gleichungen zusammen, und darum darfder Vektor 
c, wohl allgemein als der Codazzö’sche Vektor der Form s* (mit Bezug 
auf 8) bezeichnet werden. Später wird namentlich die Funktion Curl c 
eine wichtige Rolle spielen. Ist die Form s* insbesondere das Quadrat 
des Differentials einer zweimal stetig differentiierbaren Vektorfunktion 
ı* : s* — (dı*)?, so ist Curl c ein quadratisch aus den 1. und 2. Ab- 
leitungen von r* zusammengesetzter Ausdruck; die 3. Ableitungen, 
deren Vorkommen man auf den ersten Blick erwartet, fallen heraus, 
und die Voraussetzung der zweimaligen Differentiierbarkeit von ı* 
genügt, um die Existenz von Curlc im gegenwärtigen Falle sicher- 
zustellen. 
Es ist nicht schwer, die hier eingeführten Grössen auch bei Zu- 
grundelegung einer Abbildung der Fläche auf die (&)-Kugel ($ 1) statt 
auf die x, v-Ebene zu berechnen. Man braucht nur jedesmal eine 
der drei Variablen &,,&,,&,, z.B. &, konstant zu nehmen und dann 
&,& mit w,v zu identifizieren. Das Resultat muss wegen der 
Invarianzeigenschaft unabhängig davon sein, welche der drei Grössen 
& als Konstante behandelt wurde. Jedem aa a auf 5% wird man 
als seine Komponenten die drei Zahlen az; BE; = a, zuordnen; dieselben 
erfüllen die Gleichung | 
= mE —Q\, 
‘) Damit unsere Produkte [ab], (ab) mit dem nn vektoriellen und 
skalaren Produkt von Raumvektoren nicht verwechselt werden (von denen sie frei- 
lich die Sea Übertragung auf Flächenvektoren sind), verwenden wir für 
die Raumprodukte schwache, für die Flächenprodukte starke Klammern. Ebenso 
unterscheiden sich curl und Curl, div und Div. 
?2) Siehe z. B. Bianchi, Vorlesungen über Differentialgeometrie, deutsch von 
M. Lukat, 2. Aufl., Leipzig 1910, S. 55—57. 
