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Bestimmung einer geschlossenen konvexen Fläche durch ihr Linienelement. 59 
Existiert Div r und ist stetig, so können wir dafür schreiben: 
(28) A(9)=A9)+2My = 
Insbesondere, wenn s = 0, daher ® = 0,c = 0 ist, muss op der Glei- 
chung A,(p) — 0 genügen; dies ist Weingartens „charakteristische 
Gleichung“ für das Problem der unendlichkleinen Verbiegung. Nach 
Minkowski, Hilbert und Blaschke!) besitzt sie genau drei linear 
unabhängige Lösungen, nämlich die drei Raumkomponenten von n; 
ihre allgemeinste Lösung, d. h. jede Funktion von der Form (an), 
wo a ein konstanter Vektor ist, bezeichnen wir mit n. Aus der 
Theorie der sich selbst adjungierten linearen Differentialgleichungen 
2. Ordnung?) geht hervor, dass die inhomogene Gleichung A,(p) = 4 
dann und nur dann eine Lösung besitzt, wenn die gegebene Funktion x 
der Bedingung Syndo —= 0 genügt; dies vorausgesetzt, lässt sich die 
Lösung @ durch die gleiche Integralbedingung normieren und mit 
Hülfe einer von zwei variablen Punkten 0,0 auf der Fläche ab- 
hängigen „Green’schen Funktion“ T,(00) — die bei o = o' logarith- 
misch unendlich wird — in der Gestalt | 
p(0) = ST, (00 )y(0’)do’ 
darstellen. I), besitzt die Symmetrieeigenschaft 
T, (00°) Fe T, (00), 
und es ist A,(I,) eine bilineare Kombination der drei Raumkompo- 
nenten von n(o) und n(o’) mit konstanten Koeffizienten. 
Machen wir die obige Annahme betreffs Div (+): so können wir 
die Lösung von II) folgendermassen erhalten: Mittels der Green’schen 
Funktion IT, bestimmen wir g aus 28) — wobei noch zu prüfen 
wäre, ob die rechte Seite von (28) die für die Lösbarkeit erforderliche 
lineare Integralbedingung erfüllt —, danach p aus (26). Dann ist 
auch unser Deformationsproblem gelöst, indem sich 2 aus L5 I) 
und Be — p, bestimmt; entsprechend Diese Art der Lösung 
ist aber für uns völlig unbrauchbar. Bei der Integration der in $ 2 
besprochenen funktionalen Differentialgleichung (12) mittels einer 
Potenzreihe in r würde nämlich, wenn wir uns auf die soeben aus- 
einandergesetzte Lösung des Problems der unendlichkleinen Defor- 
mation stützen nn von Glied zu Glied ein eh zer rn 
) l.e. 2) und °) (8. R 
2) Hilbert, 1. c. ?) we », Br ee S. 219-242. h. 
