Bestimmung einer geschlossenen konvexen Fläche durch ihr Linienelement. 65 
wo a eine Konstante = 0 ist, oder, wenn wir cos® = x als unab- 
hängige Variable benutzen, 
d — 
Man hat für F eine Lösung dieser Gleichung zu wählen, die für 
x = —1 regulär ist‘); F wird dann bei x = -+ 1 logarithmisch un- 
endlich, und zwar ist a so zu wählen, dass dort 
a un zi G I pyia? 
wird, wo P„FP, an der Stelle & = 1 regulär-analytische Funktionen 
bezeichnen und PA, (1) =1 ist. 
Durch die bequeme Form, welche hier die Green’schen Funk- 
tionen besitzen, werden die zum Konvergenzbeweis nötigen Ab- 
schätzungen gegenüber dem allgemeinen Fall ausserordentlich ver- 
einfacht. Wir haben uns nur auf einen potentialtheoretischen Hülfs- 
satz zu berufen, den Herr A. Korn bei Gelegenheit einer der 
hier angestellten analogen Untersuchung hergeleitet hat.?) Er be- 
trifft das Integral 
pur) = ff lg (u v‘) du'dv'; 
r bedeutet darin die Entfernung zweier Punkte (vv), (wv”) in einer 
(uv)-Ebene, die Integration erstrecke sich etwa über den Einheits- 
kreis W°—+-v’?<1, und x sei im Einheitskreis stetig und absolut 
kleiner als die Konstante 4. Dann gilt im Nullpunkt 
Iisz-#,  jaulla 
Für die 2. Ableitungen von g lässt sich eine ähnliche absolute Grenze, 
die nur von H abhängt, offenbar nicht angeben, da ohne weitere 
Voraussetzungen über y nicht einmal die Existenz dieser Ableitungen 
feststeht. Das Vorhandensein der 2. Ableitungen von p ist aber be- 
kanntlich sichergestellt, wenn % einer Hölder’schen Bedingung genügt. 
Wir nehmen also an, es existiere ein Exponent «&>0 und <1 so, dass 
ku) —gWv)|<H- r@ 
ist. Indem wir einen festen Exponenten « ein für allemal zugrunde 
legen, drücken wir die Eigenschaften 
|x (wv)] <Hh, ku) —ı(WvV)]<H-r“ 
enn F eine solche ist, lautet die allgemeinste F-++ const.x; welche der- 
!) We 
Beil benutzt sr ist gleichgültig. 
d. Kgl. Preuss. Ak. d. Wissenschaften, 1909, math.-physik. Kl., An- 
beit. 
ER S. 3530 der Korn’schen Ar 
Vierteljahrsschrift d. Naturf. Ges. Zürich. Je: 61. 1916, 5 
