Bestimmung einer geschlossenen konvexen Fläche durch ihr Linienelement. 69 
$ 6. Anweisung zur Lösung des Hauptproblems. 
Es ist in $ 4 bei Einführung der Green’schen Funktionen ver- 
schwiegen worden, dass ihr Existenznachweis nur gelingt, wenn man 
betreffs der Koeffizienten E, F,@ der 2. Fundamentalform mehr vor- 
aussetzt als ihre Stetigkeit. Über die Bedingungen hinaus, welche 
in der allgemeinen Theorie der linearen Differentialgleichungen ge- 
stellt werden müssen, um die Bestimmung der Green’schen Funktion 
zu ermöglichen'), lässt sich hier behaupten, dass die Annahme aus- 
reicht, E,F,@ genügten einer Hölder’schen Bedingung. Um beispiels- 
weise die Gleichung 
AY)=4 
bei gegebenem x zu integrieren, mache man für g den Ansatz 
9(0) = SB(00) v0) do‘, 
wo 
B(0)—=1g (t (0) — r(0'), n(0)) 
ist. Die Grösse unter dem 1g ist (für konvexe Flächen) positiv und 
wird für o= 0’ von der 2. Ordnung unendlichklein, nämlich wie 
Ewa +2Fu an) —r)+ER@—r)M. 
Die Rechnung ergibt für den Vektor u? die Komponenten 
(«-5,[75]) (1, [n & ) 
re pe ar Ta 
Dieser Vektor ist also (trotzdem wir von E, F,@ nicht die Existenz 
der Ableitungen vorausgesetzt haben) stetig differentiierbar. Ins- 
besondere existiert 
A(B) = Curl (22) = Pp 
und wird bei 0 = 0° von geringerer als 2. Ordnung unendlich. Unser 
Ansatz liefert demnach eine Integralgleichung 
22 dv(0)-+ [P(oo)v(0)do = y(o), 
die nach der klassischen Theorie behandelt werden kann. 
Man wird demgemäss erwarten können, dass ein dem Hülfssatz 
A ($5) analoger Satz auch dann gültig ist, wenn man als Ausgangs- 
fläche nicht die Kugel, sondern eine beliebige konvexe Fläche nimmt, 
!) Hilbert, 1. c.2) (S. 40), Kap. XVII. 
