Bestimmung einer geschlossenen konvexen Fläche durch ihr Linienelement. 71 
dr a 1E+((9}- -Y)r-(%}6 
IG IR RN (12) (22\\ p__ 122 
= tle+(lT)- (Zur Bus 
(35) 
Differentiiert man jede der beiden Gleichungen (34) zweimal, nämlich 
nach «u, uv, vv, und jede der Gleichungen (35) einmal, nämlich nach 
« und nach v, so erhält man 10 Gleichungen für die 9 zweiten Ab- 
leitungen von E, F, @. Man übersieht leicht, dass bei der infolge- 
dessen möglichen Elimination sich ein Ausdruck für 
0°M 0°?M 
G du 2E due +98 der 
ergibt, der die 2. Ableitungen von E, F, @ nicht ‚mehr enthält. 
Führt man die langwierige Rechnung durch, so lässt sich das Er- 
gebnis schliesslich auf die oben angegebene invariante Form bringen. 
Es kommt dabei im letzten Gliede — 2 Km? auf der linken Seite für 
K zunächst ein aus den Fundamentalgrössen 1. Art aufgebauter Aus- _ 
druck heraus, der überraschenderweise mit der Krümmung der 
1. Fundamentalform, also der Krümmung K der Fläche überein- 
stimmt. Dies ist für das folgende samt dem negativen Vorzeichen 
von entscheidender Wichtigkeit. — Es ist wahrscheinlich, dass ein 
geschickterer Rechner die Formel (33) auf viel leichterem Wege wird 
ermitteln können, als es hier angedeutet wurde. 
In einem Punkt, wo M ein Maximum hat, ist 
öM 9M 
du N Be. c; 0, 
und für beliebige Werte x, y: 
d°M d°M 0°M 
du? “+2 dudr oyT dur Y 
2<0, 
Daraus ergibt’ sich offenbar, dass an dieser Stelle 
LM)<0 
sein muss, und nun aus unserer Gleichung (33): 
1 1 
> UR)+ 3,5 $(K, K)+2Km’<0, 
a fortiori 
-—UR) 
und 
ee e< ad 4x. 
