73 H. Weyl. 
(37) gilt insbesondere dort, wo M? auf der geschlossenen Fläche 
seinen grössten Wert annimmt. Das Maximum des auf der rechten 
Seite von (37) stehenden Ausdrucks, der allein auf Grund der 1. Funda- 
mentalform berechnet werden kann, ist also eine obere Schranke für M?. 
Da auf einer konvexen Fläche beide Hauptkrümmungen positiv 
sind, ist die grössere von ihnen <2M; infolgedessen gilt 
E<2Me, @<2Mg, 
und aus EG — F?>0 ergibt sich 
IFI<2 MV. 
Endlich folgt aus der ersten der Gleichungen (18): 
11 
eel<it Li) Ve + le va|+®: 
und Entsprechendes findet sich für die Ableitungen . 5 > 
9 dur’ Da- 
mit sind wir am Ziel. 
Wenden wir die Ungleichung (37) auf eine Fläche mit X=1 
an, so stellt sich heraus, dass auf ihr überall M=1 sein muss, d.h. 
dass die Fläche aus lauter Nabelpunkten besteht und folglich die 
Kugel ist. Damit haben wir einen neuen Beweis des Satzes, dass die 
Kugel als Ganzes sich nicht verbiegen lässt und die einzige geschlossene 
Fläche von der konstanten Krümmung +1 ist. 
Für eine beliebige konvexe Fläche lehrt die Ungleichung (36), 
dass dort, wo M ein Maximum hat, notwendig l(K) negativ sein 
muss. ZI(K) ist nun gewiss dort >0, wo X ein Minimum besitzt: 
Auf einer konvexen Fläche kann es somit niemals passieren, dass dort, 
wo die Gauss’sche Krümmung ein Minimum hat, die mittlere Krüm- 
mung einen maximalen Wert annimmt. 
Zürich, Ostern 1915. 
