Über das Anwachsen von ganzen Funktionen, 
die einer Differentialgleichung genügen. 
Von 
GEoRrG POLYA. 
(Als Manuskript eingegangen am 5. Juni 1916.) 
1. Wohlbekannt ist der Liouville’sche Satz über die Approxi- 
mation algebraischer Zahlen durch rationale. Vorliegende Abhand- 
lung soll die Frage aufwerfen, ob sich nicht ein Analogon dieses 
Satzes in der Theorie der Differentialgleichungen finden liesse ? 
Es sei @ eine reelle irrationale Zahl, und es sei unter allen 
rationalen Zahlen, deren Nenner n nicht übersteigt, die Zahl r, der 
Zahl « am nächsten gelegen. Die Folge der rationalen Zahlen 
© (1) a 
strebt gegen «. Der Liouville’sche Satz besagt nun, dass die Folge 
(1) nicht beliebig schnell gegen « konvergieren kann, wenn « einer 
Gleichung m-ten Grades mit rationalen Koeffizienten genügt. ') 
Meine Frage lautet nun so: Die Potenzreihe 
(2) y-zuW +2 +9,20 —.--+a,0" +... 
genüge einer algebraischen Differentialgleichung m-ter Ordnung, d.h. 
einer Gleichung 
R&yy,y', ... y)=0, 
wo die Funktion R von ihren m + 2 Argumenten z,y,y,Yy',...y” 
rational abhängig ist. Wenn die Reihe (2) eine ganze Funktion (je- 
doch kein Polynom) darstellt, kann dann ihre Konvergenz beliebig 
schnell sein? 
Die Schnelligkeit der Konvergenz von Reihe (2) wird gemessen 
durch die Schnelligkeit, mit welcher a, gegen Null konvergiert. Je 
schneller a, gegen Null konvergiert, um so langsamer wächst der 
absolute Betrag der Funktion (2) mit wachsendem |xz| an. Meine 
Frage kann also auch so gefasst werden: Wenn eine ganze Funktion 
‘) Vergl. etwa Borel, Theorie des fonctions (Paris, 1898), S. 26 ff. 
