532 Georg Pölya. 
einer algebraischen Differentialgleichung genügt, kann dann ihr ab- 
soluter Betrag beliebig langsam anwachsen? 
Weit entfernt davon, diese Frage erschöpfend behandeln zu können, 
bin ich doch in dieser Richtung zu einem Satz gelangt, der mir nicht 
ohne Interesse zu sein scheint, nämlich zu 
atz I. Es seien die Koeffizienten a, 4, -.-4y ... der 
ganzen transzendenten Funktion 
(2) ot, +2” —+---+4,20" +: 
rationale Zahlen. Wenn die ganze Funktion (2) einer al- 
gebraischen Differentialgleichung genügt, so ist 
en rn 
Kim den? 
endlich. 
Ich fand diesen Satz, indem ich den Gedankengang einer Unter- 
suchung von Herrn Hurwitz!) weiter verfolgte. Den Beweis bringe 
ich unter 2—4. 
Zum besseren Verständnis von Satz I sei bemerkt: setzt man 
ne 
n=» nlen p 
so heisst » die Ordnung, oder, wie ich sagen will, das Wachstum?) 
der ganzen Funktion (2). Satz I besagt also etwas weniger, als dass 
das Wachstum einer ganzen Funktion, die rationale Koeffizienten hat 
und einer algebraischen Differentialgleichung genügt, grösser als Null 
sein muss. Satz reicht aber hin zu beweisen, dass etwa die ganze 
Funktion von & 
wo q einen rationalen echten Bruch bezeichnet, d. h. die rechte Hälfte 
einer gewissen Thetareihe, keiner algebraischen Differentialgleichung 
genügt. In der Tat hat man 
u den 
lim —— = 
Betrachtet man anstatt allgemeine algebraische Differential- 
gleichungen nur lineare, so kann bei der Untersuchung des Wachstums 
2 A. Hurwitz, Sur le developpement des fonctions satisfaisant A une equation 
differentielle algebrique, Annales de l’Ecole Normale, 3e serie, Tome VI (1889), 
S. 327—332. 
?) Ich gebrauche die ungewohnte Bezeichnung „Wachstum“ an Stelle der 
eingebürgerten Bezeichnung „Ordnung“, weil ich später zu gleicher Zeit auf die 
Ordnung einer Differentialgleichung und auf das Wachstum der ihr genügenden 
ganzen Funktion zu sprechen komme. 
