Anwachsen von ganzen Funktionen, die einer Differentialgleichung genügen. 533 
die Beschränkung auf Potenzreihen mit rationalen Koeffizienten weg- 
fallen. Diese Untersuchung wurde von Herrn Perron!) mit bestem 
Erfolg und in gewissem Sinne erschöpfend durchgeführt. Ich gebe 
im Folgenden sein für meine Fragestellung wichtigstes Resultat, 
übrigens für inhomogene Gleichungen ausgesprochen, mit direktem 
Beweise wieder (Satz II) und folgere daraus die Irreduzibilität gewisser 
Differentialgleichungen (Satz IV). 
2- Man kann ohne Beschränkung voraussetzen, dass die rationale 
Funktion R in Gleichung (3) rational ganz ist, dass ihre Koeffizienten 
rationale ganze Zahlen sind, dass die Differentialgleichung (3) diejenige 
von niedrigster Ordnung ist, der die Reihe (2) genügt und dass R 
von möglichst kleinem Grade in y” ist. Dies alles auf Grund ge- 
läufiger Schlussweisen. 
Wie gesagt, stützt sich der Ausgang meines Biyeises auf die 
Untersuchung von Herrn Hurwitz. 
Ich kann das Nötige wohl am allerbesten wiedergeben, indem 
ich mit der freundlichen Genehmigung des hochverehrten Herrn Ver- 
fassers die betreffende Stelle?) in deutscher Übersetzung wörtlich 
wiederhole. 
„Bezeichnen wir, der Kürze halber, mit 
In Yarie, 
rationale ganze Funktionen der Grössen 
lila N. 
mit rationalen ganzen Koeffizienten. Durch Differenzieren von (3) 
finden wir eine Gleichung von der Form 
(4) ed +9, oO 
Substituieren wir für y die Reihe (2), so ergibt sich 
) nt, 420 
und wir können C=(0 annehmen, d. h. wir können annehmen, dass 
die Reihe (2) der Gleichung 
AR... 
A I,” a 
nicht genügt. 
O. Perron, Über lineare Differentialgleichungen mit rationalen Koeffizienten 
Acta ee Ba. 34 (1910), S. 139—163. 
2) Vergl. a. a. 0. S. 328—329. ; 
Vierteljahrsschrift d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. 61. 1916. * 85 
