534 Georg Pölya. 
Dies also angenommen, differenzieren wir die Gleichung (3) 
20o-mal nach x. Wir erhalten 
(6) let fa Sa at 
wie durch vollständige Induktion leicht einzusehen ist. 
Erteilen wir nun der ganzen Zahl o einen bestimmten Wert, 
der der Bedingung me +1<m-+20—k genügt, d. h. der Be- 
dingung o>%k, und setzen wir der Kürze halber m +2o=p. Die 
Gleichung (6) schreibt sich nun so: 
(7) Pf, #+ a a ge a REN R 
Diese Gleichung wird Sr die Reihe (2) befriedigt, und sie ist 
linear in bezug auf y®, y„?",...y?””,. Ich werde von dieser 
Gleichung (7) ausgehen. ode ich sie qg-mal nacheinander differen- 
ziere, finde ic 
Berges 
Eee nik a Hunt ee + 0. 
Setzt man in dieser Gleichung = 0, so reduzieren sich die 
Koeffizienten von y?*+?, „Pte ,,,yP*2=® quf gewisse rationale 
ganze Funktionen von q mit rationalen Koeffizienten. Diese Funk- 
tionen können nicht sämtlich identisch verschwinden, da in der letzten 
Funktion der Koeffizient von gq* die Zahl C' ist. Also reduziert sich 
für = 0 die Gleichung (8) auf eine Gleichung 
ie (b, ne g*) =G (Vor %ı re ee 
wo die ganze Zahl « zwischen 0 und %k enthalten ist. Setzen wir 
p+q—e=n, so haben wir endlich 
(9) ue(o, Han: +e, ")=ctlg.un-- Se ”) 
für jeden Wert von n, der eine gewisse Grenze übersteigt, wobei die 
ganzen Zahlen c,„,c,,...c,, ec unabhängig von n sind.“ 
Ich bemerke noch, dass die Gleichung (9) durch n„—m-+ «- 
maliges Differenzieren der Gleichung (3), durch Nullsetzen von & und Er 
durch Multiplikation durch eine ganze Zahl entstanden ist. 
3. Die Funktion R hat die Form 
Rayy,..- ym)= > Art yko(y'ya 2... (yem) im, | 
wo die A gewisse ganze Zahlen bedeuten. Es wird folgenden mit 
