538 Georg Pölya. 
Derselbe grösste Grenzwert ist offenbar <0, und damit ist Satz I 
bewiesen. 
5. Herr Perron hat in seiner erwähnten Arbeit u. a. bewiesen, 
dass eine ganze transzendente Funktion von positivem, endlichem 
und rationalem Wachstum sein. muss, wenn sie einer linearen (homo- 
genen oder inhomogenen) Differentialgleichung mit rationalen Koef- 
fizienten genügt. Er hat auch erforscht, wie das Wachstum der 
ganzen Funktion mit den Koeffizienten der Differenzialgleichung zu- 
sammenhängt. Von der Mannigfaltigkeit seiner wichtigen und tief- 
greifenden Resultate betrifft unsere Frage hauptsächlich das folgende‘): 
I. Genügt die ganze transzendente Funktion 
(16) D,+D,x+D,2°”—+ ---+D,0” + -- 
einer linearen, homogenen oder inhomogenen Differential- 
gleichung m-ter Ordnung mit re Koeffizienten, so 
ist ihr Wachstum nicht kleiner als —, —, d.h. es ist 
lim ig| Du| >—m. 
kan Non 
Satz II besagt mit andern Worten, dass die Potenzreihe (16) 
einer ganzen Funktion, die Lösung einer Gleichung der erwähnten 
Art ist, nicht schneller konvergieren kann als die Potenzreihe 
% x 2° a* 
Pr ar ET 
Um dieses durch Satz II ausgedrückte vereinzelte Resultat zu 
beweisen, bedarf man natürlich nicht der vollen Perron’schen Theorie. 
Ich zeige im folgenden einen ganz einfachen PEHFRNSEN SE, der zu 
Satz II führt. 
Ich schicke voraus den Satz 
II. Die unendliche Zahlenfolge 
(17) Dr Di Du DE: 
soll nicht aus lauter verschwindenden Gliedern bestehen 
und soll der Differenzengleichung 
(18) D,+a) D,,, ta” Dis en. 
genügen. 
) A.a.O. letzte Zeile von Theorem V. 
