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= Er 
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Anwachsen von ganzen Funktionen, die einer Differentialgleichung genügen. 543 
einer Gleichung erster Ordnung an können, wie etwa das Beispiel 
y= e® ey 
“= x 
zeigt, wo p positiv ganz ist. 
Wichtig ist ferner, dass die untere Grenze, die der Satz II für 
das Wachstum angibt, die bestmögliche ist. Sie wird erreicht durch 
eine Lösung der Gleichung 
(30) ee d I +a, ne er a Hm —y=0, 
dx da” 
WO 4, Gy," "q,,_, Konstanten bedeuten. 
Um dies einzusehen, betrachte man das Polynom m-ten Grades 
Pe)=2(—1)...@-m+1)+a2(@—1)...(@-m+2)+:--+ 
M 
wi !a dl 
+a,_,2= PALLFER GR! 
ya 
P(0) =0. 
Es sei r die grösste ganzzahlige Wurzel von P(z), also r>0. Die 
ganze Funktion 
& © gern 
(3) @)=x Be Pr +) Pr +2... Pir-+n) 
genügt der Gleichung (30) von der Ordnung m, und sie selbst hat 
das Wachstum Fi 
Aus dem Umstande, dass die Funktion (31) die durch den Satz II 
angegebene untere Grenze erreicht, kann geschlossen werden, dass 
die Gleichung (30) irreduzibel ist, wie ich es sofort näher aus- 
führen werde. 
7. Man kann den Begriff der Irreduzibilität für homogene lineare 
Differentialgleichungen auf verschiedene Weisen fassen, indem man 
das Rationalitätsbereich der Koeffizienten verschieden festlegt. Eine 
gewisse Wichtigkeit kommt dem folgenden Irreduzibilitätsbegriff zu: 
die Differentialgleichung 
Es ist 
+ :+R,(@) UY0, 
wo R, (x), R, (&),... R, (x) rationale Funktionen von & mit (beliebigen 
komplexen) konstanten Koeffizienten bedeuten, heisst irreduzibel, wenn 
kein Integral von ihr einer Differentialgleichung ähnlicher Art aber 
von niedrigerer Ordnung genügt. Dieser Irreduzibilitätsbegriff ist 
dem am Ende von 6 ausgesprochenen Satze zugrunde gelegt: 
R@)y+R@)SE+R 
