544 Georg Pölya. 
IV. Die Differentialgleichung 
0) Urn at +8 
—y=0 
ze 
ist irreduzibel. 
Ich bezeichne die Operation, die durch die linke Seite von (30) 
auf y ausgeübt wird, mit W, d.h 
—1 4 m—2 ee 
Y- x” ET er ha Pr .— An 1. 
Wäre die Differentialgleichung (30), d. h. die Gleichung 
(30) Ay 0 
reduzibel, so sei 
Wr ,@y=0 
eine homogene lineare Differentialgleichung von geringster Ordnung 
r (1<r<m), die mit (30°) ein Integral gemeinsam hat, und deren 
Koeffizienten b, (x), b, (x), .. . b,(z) Polynome in x sind. Dann gibt 
es bekanntlich!) einen homogenen linearen Differentialausdruck 
Er 
+; 4 M— Ft, ER Te _,(&) 
=... z mMm—r 
deren Koeffizienten c, (x), c, (&), - .. c„_,(«) rationale Funktionen 2 | 
sind, so beschaffen, dass : 
Ayz=eCBy | S: 
Diese Identität gilt für jede Funktion y. Ich setze insbesondere 
y=f (x), wo f(«) durch (31) definiert ist. Ich werde zeigen, dass 2 
die sich so ergebende Gleichung = 
(82) Al) —- EBf(a)—0 
unmöglich ist. 
Die Funktion 
3) BF AH") + + 
ist eine ganze Funktion, aber sie ist kein Polynom. Denn sonst 
hätten wir in f(x) eine ganze Funktion vom Wachstum - <ı ge- 
funden, die einer linearen Differentialgleichung r-ter Ordnung genügt, 
Vergl. etwa L. Handbuch der Theorie der linearen Diffe- 
retilgeichunge, Bad. I, S. 84 
