Über algebraische Gleichungen mit nur reellen Wurzeln. 547 
nur reelle Nullstellen besitzen. Diese Spezialfälle sind bekannt. Der 
erste ist von Hermite und Poulain'), der zweite von Herrn J.Schur®), 
und der dritte von Herrn J. Schur und mir?) gefunden worden. Um- 
gekehrt folgt der allgemeine Satz aus diesen drei Spezialfällen durch 
leicht ersichtliche Vertauschungen der Veränderlichen. Ich hatte 
nur die Absicht, diese drei speziellen Sätze in einer Aussage und in 
einem einheitlichen geometrischen Bilde zu vereinigen. 
Ich will dieses geometrische Bild entwickeln, indem ich mir die 
Aufgabe stelle, von dem leicht beweisbaren und wohlbekannten 
Hermite-Poulain’schen Satze ausgehend, den tiefer liegenden Satz 
des Herrn J. Schur über das Polynom II zu beweisen. 
Aus Stetigkeitsgründen kann man die » reellen Wurzeln von 
f(x) als verschieden voraussetzen. In diesem Falle hat jede Gerade 
x = konst. n reelle und verschiedene Durchschnittspunkte mit der 
Kurve (1). (Vergl. J. Schur a.a. 0.) Daher besteht die Kurve (1) 
aus n verschiedenen, stetigen Zügen. Ich behaupte, dass in jedem 
dieser n Züge y von +% bis — © geht, wenn x die ganze Abseissen- 
axe durchlaufend sich von — oo bis + oo ändert. In der Tat, wie 
auch 2=0 gewählt sei, hat die Gleichung »-ten Grades für t 
F(z,t2)=0 
nur reelle Wurzeln. Folglich hat auch die Gleichung 
&) im Faid 2. Pt erneihl tin 
lal=o® x 
+nn—1)...2.1b,) = 
nur reelle Wurzeln. Diese Wurzeln von (2) sind aber alle negativ 
(<0), da a,=0, und ,>0, 5b, >0,...b,>0, laut Voraussetzung. 
Das Verhältnis von y zu x ist also endlich und negativ für 
|z|=®, und so variiert wirklich y von + © bis — © in jedem Zuge 
der Kurve (1), wenn x die Abscissenaxe beschreibt. Daher wird 
irgendeine Gerade y — konst. alle n Züge von (1) schneiden, d. h. 
die Kurve (1) hat wenigstens » reelle Schnittpunkte mit irgendeiner 
Geraden y = konst. Sie hat übrigens genau n Schnittpunkte, da sie 
Hermite, Nouvelles Annales, 1866, S. 432, 479, Poulain, dieselbe Zeit- 
ap 
') 
‚schrift, 1867, $. 211— 
Schur, Crelle’s Journal, Bd. 144, S. 75—88. Vergl. auch Malo, Journal 
des mathematiques speciales, 1895, S. 7 
2) @.Pölya und J. Schur, Crelle’s Journal, Bd. 144, S. 107. 
