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Über eine Integralformel u. die Eigenschaften der darin vorkomm. Funktionen. 685 
Ich wähle einen linearen homogenen Differentialausdruck P(y) 
und betrachte die Gleichung 
Po)=Y9(R). 
Setzt man für y eine gegeben gedachte Funktion y, von & in 
P(y) ein, so erhält man für p(x) eine ganz bestimmte Funktion. 
Man kann aber auch p(x) als gegeben ansehen. 
Das allgemeine Integral dieser Differentialgleichung lässt sich 
auf zwei Arten darstellen. Erstens ist es bestimmt durch sein Ver- 
halten in der Umgebung einer gewissen Stelle x,, was zu einer 
Reihenentwickelung führt. ‘Andererseits ergibt ein Satz von Cauchy 
die Form: 
n x 
y= > 4u(2)+ fa (x, 2) dt. 
1 BL 
Indem man die beiden Darstellungsarten gleichsetzt, ergeben 
sich Formeln, in welchen eine unendliche Reihe gleich ist einem 
bestimmten Integral. 
Wie man diese Formeln verwenden kann zur Bildung arith- 
metischer Ausdrücke für analytische Funktionen, werde ich in späteren 
Arbeiten!) ausführen. 
Et 
Man kann das allgemeine Integral einer linearen inhomogenen 
Differentialgleichung auf zwei Arten darstellen. 
(1) Pu) = = 2.@)y® = p(a) 
sei die Differentialgleichung. 2—=z, sei eine Stelle, in deren Um- 
gebung die Koeffizienten p,(x) und das zweite Glied p(x) sich re- 
gulär verhalten und überdies sei p,(x,)+ 0. Dann gibt es ein parti- 
kuläres Integral y von (1), welches sich in der Umgebung von =, 
regulär verhält und das samt seinen „—1 ersten Ableitungen die 
Bedingungen erfüllt: 
Y(&0) = Yor a ee „> (20) = Vor 
!) In einem einfachen Spezialfall stelle ich das Verfahren dar m einer Note: 
„Sur quelques reprösentations arithmetiques des fonctions . .. die 
Redaktion von L’enseignement ea zur Publikati on angenomm 
