Über eine Integralformel u. die Eigenschaften der darin vorkomm. Funktionen. 689 
Die Gleichsetzung der rechten Seiten von (3) und (15) führt 
zu Formeln, deren Ableitung mein Ziel ist. Die Aufgabe der Diffe- 
rentialgleichung (1) ist also, die Gleichheit der Ausdrücke (3) und 
(15) und deren Eigenschaften zu liefern. Ich werde sie daher die 
verbindende Differentialgleichung nennen. 
Für die weitere Entwicklung dieses Gedankens sind noch 
folgende Bemerkungen wichtig. In (3) und (15) kann zur Bildung 
des Teils = A,y.(x&) ein beliebiges Fundamentalsystem y, (&).... y,(2) 
=1 
verwendet werden und ganz besonders ist es nicht notwendig, dass 
es übereinstimmt mit dem ebenso bezeichneten Fundamentalsystem, 
welches zur Bildung der Funktion z, (x, t) in (9) benutzt wurde. Es ist 
unmittelbar klar, dass dieselbe Funktion 2(x) [(9) und (14)] erhalten 
wird, gleichgültig, was für ein Fundamentalsystem in den Gleichungen 
(11) verwandt wird. Diese Freiheit in der Wahl des Fundamental- 
systems in den beiden Teilen der Formel ist für die Anwendungen 
besonders zu beachten. 
Man wird wünschen, die Einschränkung zu beseitigen, die in 
der Voraussetzung enthalten ist, dass x, ein regulärer Punkt der 
Differentialgleichung ist. In den beiden folgenden Paragraphen 
werden die Eigenschaften des partikulären Integrals ,, das in Reihen- 
form (2): eingeführt wurde, entwickelt für die Fälle, dass x, = 0 
eine reguläre singuläre Stelle ist und dass %, = © eine Unbestimmt- 
heitsstelle vom Rang s-+1 ist. 
5.2. 
Es sei 
(16) Py)= 3 2,0) y” = -53 *lp,@) +: u 7) (Igx)”*] = p(«) 
e eine lineare Differentialgleichung, deren linke Seite die Normalform 
| besitzt. Die p,(x) sind also regulär in der Umgebung von 2 = 0 
und »,(0) # 0. Die rechte Seite p (x) besitze in x = 0 einen regulären 
singulären Punkt. Die p.,(z) verhalten sich daher regulär in der 
Umgebung von z=0 und es wird wenigstens 95,» (x) für x — 0 nicht 
zu null. Endlich soll keine der Differenzen «;— «a, eine ganze Zahl 
oder null sein. 
Unter diesen Voraussetzungen ae ich jetzt, in welcher 
Form sich das partikuläre Integral y der Formel = darstellen lässt 
in der Umgebung von x = 0. 
Allen diesen Überlegungen liegt zugrunde der folgende Satz 
von Thome (Crelle’s Journal 74, 8. 195). 
