Über eine Integralformel u. die Eigenschaften der darin vorkomm. Funktionen. 703 
voneinander verschieden sind, besitzt die Differentialgleichung 
(44) ein Fundamentalsystem %, % ... y, mit der Eigenschaft, 
dass die Funktion y. durch die Normalreihe 
a, rt! 0,1% 
BER in WE E= 8 + us 2 
(47) A s+l 8 « - 100% [++] 
asymptotisch dargestellt wird, wenn x als reelle positive Grösse 
ins unendliche geht. 
Die Voraussetzungen dieses Satzes seien erfüllt. Dann be- 
trachte ich die nicht homogene lineare Differentialgleichung 
FE BE +2 ee], 
48) PW)=v(a)=e Ar 
deren linke Seite mit derjenigen von (44) übereinstimmt, deren 
rechte Seite, abgesehen vom Exponentialfaktor und der Potenz x° 
in der Umgebung von £= & regulär sein möge. 
Der soeben ausgesprochene Satz und die nachfolgenden Aus- 
 führungen gelten aber nicht nur, wenn die bis jetzt angegebenen 
Bedingungen erfüllt sind, sondern auch dann, wenn die Reihen- 
entwicklungen (45) die Koeffizienten p;(x) asymptotisch darstellen 
für reell ins unendliche wachsendes x und ebenso, wenn die rechte 
Seite in (48) die Funktion »(x) asymptotisch darstellt für reell ins 
Unendliche wachsendes x, wobei ausserdem noch vorausgesetzt 
werden muss, dass die durch Differentiation nach x aus (48) her- 
vorgehende Reihe die Funktion w'(x) asymptotisch darstellt. 
Das allgemeine Integral dieser Differentialgleichung (48) ist 
‚dargestellt durch 
t Are; 4A, y,(&) mr +4,9,®)+%Y(e), 
worin die y,... y, durch die Ausdrücke (47) darstellbar sind und 
y(&) irgend ein partikuläres Integral von (48) bedeutet. Es ist 
_ möglich, für dieses partikuläre Integral einen Ausdruck der Form 
(47), der eine asymptotische Reihe enthält, abzuleiten. Um das zu 
_ zeigen, wird = differentiert 
= 
Po-v@=e Terror Gh 
%) Vgl. Horn, Acta Math, Bd. 24. Poincare, Acta 
