- 706 Alfred Kienast. 
Determinante unmittelbar ersieht. Daraus folgt, dass die » Funk- 
tionen, die durch (47) asymptotisch dargestellt werden, n linear 
unabhängige Integrale von (50) sind 
Endlich kann gezeigt werden, a die Normalreihe (52) das 
(n+-1)te Integral des Fundamentalsystems asymptotisch darstellt, 
wenn mir <o0. 
r den speziellen Wert n=1 hat die Differentialgleichung 
(50), ei charakteristische Gleichung jetzt zwei verschiedene Wur- 
zeln ß und null besitzt, ein Fundamentalsystem, bestehend aus zwei 
Funktionen, deren eine in der Form (47), deren zweite in der Form 
(52) asymptotisch dargestellt ist. Die Behauptung ist also fürn =1 _ 
auch ohne die Beschränkung R (ß) < N) richtig. 
Ich nehme an, dass sie bewiesen sei für den Fall, « dass es sich 
um eine Differentialgleichung handelt, gleich gebaut wie die Gleichung 
(50), aber von der Ordnung » und zeige, dass sie dann auch richtig 
ist für eine Differentialgleichung der Ordnung (» +1). 
Durch die Transformation 
y=yS2-Ur, 
worin y, die durch die erste Reihe (47) asymptotisch dargestellee 
Funktion bedeutet, wird die Differentialgleichung (50) übergeführt 
in eine analog gebaute Differentialgleichung n-ter Ordnung, deren 
charakteristische Gleichung die Wurzeln ß und die (n —1)- -fache 
Wurzel O besitzt. Das Fundamentalsystem dieser Differentialgleichung 
n-ter Ordnung wird gebildet durch 
Yı (©) Y, (@) — Y,@) Yı (@) 
n Y a) 
Dieses sind (a —1) asymptotische Reihen; denn die Reihen (47) für 
die y, (&—=1,2,...n) dürfen mindestens »mal differentiert werden. 
Die durch sie dargestellten Funktionen sind, wie aus (53) ersichtlich, 
linear unabhängig. Hiezu tritt nun die zur Wurzel 8 der charak- 
teristischen Gleichung gehörende Thomesche Normalreihe, die der 
Voraussetzung gemäss asymptotisch ist und z,., darstellt. Aus dieser 
Darstellung des Fundamentalsystems ee 23,8..n 5) geht 
hervor, dass die transformierte Differentialgleichung. gleich er 
sein muss wie (50). Weiter ist: 
Yazı a D. D 37 
_— PP — ! 5 o 7, 
yı Nanııda ar t+1 u n+2+ ++ 
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und nach Voraussetzung: lim d,(x) = 
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(53) 
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