Über eine Integralformel u. die Eigenschaften der darin vorkomm. Funktionen. 709 
Die bestimmten Integrale, die in dieser Formel vorkommen, 
enthalten Integranden, die an der untern Grenze x, = 0 Singulari- 
täten aufweisen und führen dadurch zu folgendem Gedankengang: 
Um die Stelle x = 0 lässt sich ein Kreis mit endlichem, nicht 
verschwindendem Radius angeben, innerhalb dessen, mit Ausnahme 
allein des Mittelpunktes, lauter Punkte sich befinden, die an Stelle 
von %, in der Formel (54) verwendet werden dürfen. Ich führe 
' daher von einem solchen zulässigen Werte‘ x, ausgehend den Grenz- 
übergang limx,=0 aus. 
Wenn die später aufzustellenden Konvergenzbedingungen erfüllt 
sind, dann bleibt der Nutzen der Formel (54) erhalten, falls noch 
gezeigt ist, dass sie die Eigenschaft, ein partikuläres Integral der 
Differentialgleichung (17) darzustellen durch den Grenzübergang 
lım x, = 0 nicht verloren hat. 
Dass sie diese Eigenschaft noch besitzt, ist leicht ersichtlich, 
wenn man die Form der Funktion z, (x, t) berücksichtigt, welche in 
$ 1 zur Bildung von %(x) gedient hat: 
2 (&, )=4, Out +4) 
also Js (Ü)d=y(«) JA dd+t-.--+y, fr (t) dt 
Die Er Geönsübershnne: der Differentiation und lim .=0 haben 
keinen Einfluss auf einander. 
Um die Konvergenzbedingungen angeben zu können, muss die 
Form bekannt sein, in welcher sich die B, (t) in der Umgebung von 
t=0 darstellen lassen. Zu dieser führen folgende Rechnungen: 
Yyılz)--..4,(2) bilden ein Fundamentalsystem der homogenen 
Are P(y) =0. Da diese die Normalform hat, so ergibt sich 
jede der Funktionen y, (=) in der Form 
(| u) = [yo + Yy,@lge + +Yy,,@) Agx)*] 
«+. Yı(®) 
und die Funktionen y,, (x) sind in der Umgebung von x — 0 regulär und 
mindestens eine für z= 0 nicht null. Daher gelten die Beziehungen 
lim F; (x) - 2’’=0 
(56) re 
‚lim Yılz)-x- =» 
Ferner ist ya 2 “nun. 
wo für Y;,.(x) dieselben Beziehungen (56) gelten, wie , für Yı 0) 
!) Forsyth, Theory of Differential et (part u), Vol. ZN p- 75. 
Vierteljahrsschrift d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. 61. we ee, 
