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<K. Das P.S. AZBHG kann also nicht grösser sein als die 
Fläche K. 
Es sei nun zweitens kleiner als die Fläche X. Man zeichne 
wiederum in die jeweilen übrigbleibenden Segmente die entsprechen- 
den Dreiecke wie vorher und setze dies so lange fort, bis die Summe J 
der zuletzt gezeichneten Dreiecke kleiner ist als der Überschuss der 
Fläche K über das P.S.; wir wollen diesen Überschuss Q nennen, 
dieser sei nun also grösser als J!) (s. Fig. zu Satz 22), nun ist also 
K=P.3.—Q: 
Es ist aber (nach Satz 23): Z+ H+T +J+3 J= SZ=K, 
mithin besteht nun die Gleichheit: 
P.S.+Q= ZH HEFT +IJ+2J, 
da nun Q>J, aber 7 <.J ist, so muss 
SEHFRLEISEN 
sein, was im Widerspruch zu Satz 22 steht, in welchem bewiesen 
wurde, dass die Summe aller der Flächen Z, H, T, J etc. kleiner als 
die Fläche des P.S. sei; also kann das P.S. weder grösser noch 
kleiner als K sein, es muss also = K = n A ABG sein. 
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Wir sehen, dass Archimedes sieben Sätze (worunter einen arith- 
metischen Hilfssatz) braucht, um die Quadratur zu finden, der Enkel 
Thabits aber nur deren drei. Die sieben Sätze des Archimedes liessen 
sich allerdings auf sechs reduzieren, denn es könnten leicht 18 und 19 
in einen Satz vereinigt werden, vielleicht hätten sich auch 22 und 24 
zu einem vereinigen lassen; Archimedes zeigt sich eben etwas weniger 
voraussetzungslos als der Araber. — Was die Methoden beider Geo- 
meter anbetrifft, so finden wir bei näherer Betrachtung in derjenigen 
des Arabers einen nicht geringen Vorzug vor der des Griechen. Wie 
C. R. Wallner in München in seiner Abhandlung „Die Wandlungen 
des Indivisibilienbegriffs von Cavalieri bis Wallis“ ?) ganz richtig be- 
merkt, ist die Archimedische Methode und ihre Nachbildungen „durch- | 
aus von der seinen (Cavalieri’s) verschieden, denn sie sind indirekte 
ese Annahme ist möglich, denn wir können durch Einschreiben immer 
weiterer Hreiscke das J so klein werden lassen, als wir wollen 
2) Biblioth. mathem. 45 (1903), S. 39. 
