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haustionsmethode bezeichnet wird.“ Was den ersten Punkt anbe- 
trifft, so ergibt sich die Richtigkeit der Behauptung leicht aus der 
Betrachtung der oben gegebenen Übersetzung der Archimedischen 
‘ Parabelquadratur; die Umgehung des Grenzbegriffes zeigt sich sehr 
deutlich in Satz 23, indem Archimedes keineswegs die Reihe 1 +4 
E (+) + (4) + --. in inf. summiert, sondern er nimmt eine end- 
liche Zahl von Gliedern an und beweist dann, dass diese endliche 
Summe, vermehrt um den dritten Teil des letzten Gliedes, gleich = 
des ersten Gliedes sei; darum braucht er dann eben im letzten Satze 
noch die Reductio ad absurdum. Was den zweiten Punkt anbelangt, 
so findet sich bei diesen alten Geometern, wo sie die Exhaustions- 
methode anwendeu, in der Tat niemals ein vollständiges Ausschöpfen, 
d. h. ein solches, bei dem man auf einen unendlich kleinen Rest 
kommt !), sondern sie gehen nur so weit, bis der Rest kleiner als eine 
gegebene, kleine, endliche Grösse e wird, und deshalb brauchen sie 
dann eben wieder, um zu einem Resultate zu gelangen, einen indi- 
rekten Beweis und müssen auch das Resultat, das sie erhalten sollen, 
. schon kennen. Aber man hat nun einmal dieser Methode den Namen 
„Exhaustionsmethode“ gegeben und wird diesen wohl, wenn er auch 
dem eingeschlagenen Verfahren nicht ganz entspricht, nicht mehr 
aufgeben wollen. 
Wir glauben also, durch diese Darlegungen unsere im Anfang 
des Kommentars ausgesprochene Behauptung, dass die Berechnung 
des Parabelinhaltes durch Ibrahım b. Sinän die kürzeste von allen 
sei, die uns seit den ältesten Zeiten bis zur Erfindung der Integral- 
rechnung bekannt geworden sind, genügend bestätigt zu haben; ebenso 
deutlich wird auch dadurch die Richtigkeit unserer Ansicht beim Leser 
sieh bekräftigen, dass diese Abhandlung auch in bezug auf die ange- 
wandte Methode in erste Linie gestellt zu werden verdient: gewiss 
ein schönes Zeugnis für die Schaffenskraft und den Erfindungsgeist 
der Mathematiker aus der Blütezeit der arabischen Kulturentwicklung! 
') Eben. infolge des Mangels eines Grenzbegriffes. 
