2330 A. Kiefer. 
Legt man an irgend einer Stelle M der Cykloide einen materiellen 
Punkt auf die Kurve und lässt ihn auf ihr frei herunterfallen, so 
braucht er, um die tiefste Stelle A zu erreichen, immer dieselbe 
Zeit, wo man M auf der Cykloide auch wählen mag. Diese, von 
Huygens gefundene Eigenschaft der Kurve, hat ihr den Namen 
Tautochrone verschafft und kann auf elementare Art nachgewiesen 
werden. 
Wenn der von M auf der Cykloide herunterfallende Punkt die tiefer 
liegende Stelle B erreicht, so ist seine Geschwindigkeit Y29- M’B’, wo- 
bei M’, B' die Projektionen von M, B auf A,A sind. Betrachtet man 
die Bewegung des Punktes B’ auf A,A, so ist die Geschwindigkeit 
von B' die Projektion der Geschwindigkeit von B auf A, A, also gleich 
V20:- u -M'B.- -sina = /2g:M'B' :M'B'- in 
wobei r der Radius des erzeugenden Kreises ist. Aber aus der Ab- 
bildung AB, = Y2r- AB’; also ist die Geschwindigkeit von B’ gleich 
Var: MB OE# -V2-uB'. aB\. 
Nun ist, wenn man noch den Kreis über M’A als Durchmesser 
legt, und den Schnittpunkt von B’B mit diesem Kreis B, nennt, 
M'B-AB =B'B. B;; Also ist die Geschwindigkeit von B’ gleich 
V2-22.. 
Die Geschwindigkeit des Punktes B’ ist immer proportional der 
Kreisordinate B’B,, d.h. der Punkt B’ führt auf M’A eine schwin- 
gende Bewegung und der Punkt B, auf dem Kreis über M’A eine 
gleichförmige Bewegung aus. Die konstante Geschwindigkeit dieser 
gleichförmigen Bewegung ist gleich der Geschwindigkeit von B’ in 
der Mitte von M’A, also gleich 
pe. 
a Se 
Somit ist die Zeit, welche der fallende Punkt braucht, um von M: 
nach A zu gelangen, gleich der Zeit, die zum gleichförmigen Durch- 
laufen des Halbkreises über M’A mit der Geschwindigkeit V:- Ai 
nötig ist. Das gibt Se 
MI Ug MA 
BE u. y3. 4 Te =V., d. h. 
