Die Cykloide als Kurve gleicher Fallzeit. 231 
Lässt man von irgend einer Stelle M einer Cykloide aus 
einen materiellen Punkt frei auf der Cykloide herunter- 
fallen, so führt die Projektion B’ des fallenden Punktes 
auf A,A eine schwingende Bewegung und der Punkt B, auf 
dem Kreis über M’A als Durchmesser eine gleichförmige 
Bewegung mit der Geschwindigkeit / 4. "34 aus; der fal- 
lende Punkt braucht, um die tiefste-Stelle A der Cykloide 
zu erreichen, immer dieselbe Zeit, gleichgültig, von welcher 
Stelle der Cykloide aus er seine Bewegung beginnt, näm- 
lich z 
Die konstante Zentripetalbeschleunigung für die gleichförmige 
Bewegung des Punktes B, auf dem Kreis über M'A ist Z . = die 
Beschleunigung des Punktes B’ auf M’A ist % an IF) Man 
kann diese Beschleunigung auch direkt aus dor Bewegung auf der 
Cykloide finden. Zerlegt man im Punkte B die Erdbeschleunigung 
tangential und normal zur Bewegungsrichtung BT, so geht die 
Normalkomponente verloren; die Beschleunigung von B’ ist gleich 
der Differenz der Projektionen der Tangentialbeschleunigung und 
der Zentripetalbeschleunigung der Cykloidenbewegung auf M’A. 
Diese Zentripetalbeschleunigung ist 29- MB’:24A,B,, weil der 
Krümmungsradius in B gleich 2A, B, ist. Also ist die Beschleuni- 
sung von B' 
AB, wu aR 
gsin? 0947 08a —g > al 8 AIR 
Ir. AB' AB MDN 
eu ra 5 ), wie oben. 
Der aufgestellte Satz liefert ohne weiteres einige Folgerungen. 
Die Zeit, welche der fallende Punkt braucht, um den 
Cykloidenbogen MB zu me ist gleich dem Kreis- 
bogen M’B,, dividiert durch HR. ‘Die Zeit, welche der 
fallende Punkt auf der Oykldide braucht, um in vertikaler 
Richtung die Hälfte der ganzen Fallhöhe M’A zu durch- 
fallen, ist die Hälfte der ganzen Fallzeit. Wählt man auf 
der Cykloide unterhalb M zwei Punkte, so dass der Abstand 
des einen von M'M und der Abstand des andern von der 
Scheiteltangente einander gleich sind, so ist die Summe 
der Fallzeiten für die zwei Cykloidenbogen, von M bis zu 
