498 A. Kiefer. 
Um den: äussern Ähnlichkeitspunkt der Kreise K,, K, lege man 
ihren Potenzkreis, der durch ihre zwei reellen oder imaginären Schnitt- 
punkte hindurch geht, d. h. zu ihrem Büschel gehört; ebenso lege man 
den äussern Potenzkreis der Kreise K,, K,. Diese zwei Potenzkreise 
schneiden ‘'sich in zwei Punkten U, V (durch welche auch der Potenz- 
kreis von K,, K, hindurchgeht). Betrachtet man U, V als Grenzpunkte 
eines Kreisbüschels zweiter Art, so sind diejenigen zwei. Kreise des 
Büschels, die irgend einen der drei Kreise, z. B. K,, berühren, zwei 
gesuchte Berührungskreise. 
Man erhält die Berührungspunkte, Mittelpunkte und Radien dieser 
Kreise, wie gewöhnlich, wenn die Grundpunkte reell sind, oder auch, 
indem man durch U, V den Kreis legt, der einen der drei Kreise, 
z. B. K,, ortogonal schneidet; die Schnittpunkte sind die Berührungs- 
punkte mit K,. Die Tangenten in diesen Punkten an den Ortogonal- 
kreis schneiden die Gerade U V in den Mittelpunkten der gesuchten 
Kreise und die Strecken der Tangenten zwischen Berührungspunkt 
und Mittelpunkt sind die Radien der zwei Berührungskreise. 
Wiederholt man diese Konstruktion für jeden äussern und je 
einen nicht dazu gehörigen innern Potenzkreis'), so erhält man die 
drei andern Paare berührender Kreise. 
Die Konstruktion ergibt sich auf einfache Art durch eine räum- 
liche Überlegung. Angenommen die drei Kreise K,, K,, K, schneiden 
sich, so gibt es um ihren Potenzpunkt als Mittelpunkt einen Kreis, 
der von allen drei Kreisen in Durchmessern geschnitten wird. Legt 
man die Kugel über diesen Kreis als Grosskreis und projiziert die 
drei Kreise stereographisch auf die Kugel, so entstehen drei Gross- 
kreise, die acht sphärische Dreiecke begrenzen. Jedes hat einen Inkreis 
und die stereographischen Projektionen dieser Inkreise auf die Zeich- 
nungsebene sind die acht Berührungskreise der drei gegebenen Kreise. 
Zu jedem sphärischen Dreieck gehört ein Scheiteldreieck; die sphä- 
rischen Pole ihrer zwei Inkreise liegen auf einem Kugeldurchmesser 
und sind die Schnittpunkte der winkelhalbierenden Grosskreise der 
Dreieckswinkel. Die Ortogonalkreise durch diese Punkte zu den Seiten 
der sphärischen Dreiecke geben auf den Seiten die Berührungspunkte 
mit den Inkreisen; die Tangenten in diesen Punkten an den betreffenden 
Ortogonalkreis schneiden den Verbindungsdurchmesser der sphärischen 
Pole in der Spitze des zum Inkreis gehörigen Berührungskegels. Pro- 
') Beim Imaginärwerden von Potenzkreisen lässt sich die Potenzlinie gleichwohl 
konstruieren. Ersetzt man übrigens einen Potenzkreis mit dem Radius r Y—1 
durch den Kreis mit dem reellen een r, so wird ee Kreis im Durchmesser 
geschnitten. 
