Geometrische Mitteilungen. 49) 
jiziert man alles stereographisch, so gehen die Halbierungskreise über 
in:die Potenzkreise, indem die Mittelpunkte der letztern die Zentrale 
im Verhältnis der Radien teilen und also die Ähnlichkeitspunkte sind. 
Die sphärischen Pole projizieren sich in die Schnittpunkte der Potenz- 
kreise und werden zu Grenzpunkten eines Kreisbüschels zweiter Art, 
dem die Berührungskreise Angabdren: Man hat die angegebene Kon- 
struktion. 
Aus ihr kann man die @ergonnesche Konstruktion herauslesen. 
Der Potenzpunkt der drei gegebenen Kreise hat nämlich für die zwei 
Potenzkreise gleiche Potenz; also geht U V durch ihn. U, V liegen 
zur Ähnlichkeitsachse symmetrisch; daher hat der Ortogonalkreis durch 
U,V zu K, seinen Mittelpunkt auf der Ähnlichkeitsachse und seine 
Durchbohrungssehne mit K, muss durch den Potenzpunkt der drei 
Kreise gehen und den Pol der Ähnlichkeitsachse inbezug auf K, ent- 
halten. Durch jedes Punktepaar U, V gehen drei Potenzkreise und auf 
jedem solchen Kreis liegen zwei Punktepaare U, V. Aus der Konstruk- 
tion folgen auch ohne weiteres die beiden Plückerschen Lösungen. 
Die zu dem Kreisbüschel mit den Grenzpunkten U, V gehörigen Grund- 
punkte sind nämlich die Schnittpunkte der Ähnlichkeitsachse mit 
dem Ortogonalkreis der drei Kreise, indem ja U, V den Ortogonal- 
kreis harmonisch trennen; daher geht ein gesuchtes Kreispaar durch 
die zwei Grundpunkte und berührt jeden von den drei gegebenen 
Kreisen.!) Da die Berührungssehne durch den Pol der Ähnlichkeits- 
achse und den Potenzpunkt der drei gegebenen Kreise geht, so schneiden 
sich die zwei Tangenten der Berührungspunkte auf der Ahnlich-. 
keitsachse und zwar in ihrem Schnittpunkte mit der Polaren des 
Potenzpunktes inbezug auf den betreffenden Kreis. 
Die Konstruktion lässt sich auch auf planimetrische Art finden. 
Wenn zwei Kreise K,, K,; von einem dritten Kreis berührt werden, 
so sind die Berührungspunkte inverse Punkte. Ihre Verbindungslinie 
geht durch den entsprechenden Ähnlichkeitspunkt der zwei Kreise 
' und die Potenz des Ähnlichkeitspunktes inbezug auf den berührenden 
Kreis ist gleich dem Quadrat des Radius des Potenzkreises; also 
schneidet der berührende Kreis den Potenzkreis rechtwinklig. Werden 
drei Kreise von einem vierten Kreis berührt, so muss der letztere 
die drei entsprechenden Potenzkreise rechtwinklig schneiden und ist 
') Analytisch-geometrische Entwicklungen, von J. Plücker. (G. D. Baedecker, 
Essen). 1. Bd. $. 109. 
°) Dito S. 111. — Auf die von Steiner an verschiedenen Stellen seiner Arbeiten 
angegebenen, grundlegenden Resultate, die sich auf das nn und Schneiden 
. von Kreisen und Kugeln beziehen, sei im allgemeinen verwiese 
