Geometrische Mitteilungen. 501 
Kugel die Kreise, die den Potenzkreisen entsprechen. Sie schneiden 
sich in vier Paaren von Punkten, welche die sphärischen Pole von 
gesuchten Kreisen sind; die letztern sind durch jene Pole bestimmt. 
Die vier Geraden, auf denen die vier Paar Pole liegen, gehen durch 
den Schnittpunkt der drei Kreisebenen. Die Pole der acht gesuchten 
Kreisebenen inbezug auf die Kugel sind die acht Schnittpunkte der 
drei Kegel, die der Kugel längs der drei Kreise umschrieben sind, 
und sich paarweise in zwei Kegelschnitten durchdringen; die stereo- 
graphischen Projektionen der sechs Kegelschnitte enthalten die acht 
Mittelpunkte der acht Apolloniusschen Berührungskreise in der Zeich- 
nungsebene. 
Die Ausdehnung des Berührungsproblems von Apollonius auf den 
Raum, wo zu vier gegebenen Kugeln sechzehn berührende Kugeln 
zu finden sind, gestaltet sich folgendermassen. Eine Kugel, welche 
vier Kugeln berührt, muss die vier entsprechenden Potenzkugeln von 
je zwei der vier Kugeln ortogonal schneiden. Also ist sie eine Kugel 
des Büschels zweiter Art, das die zwei Schnittpunkte der vier Potenz- 
kugeln zu Nullkugeln hat. Also: Wenn K,,K,,K,,K, die vier Kugeln 
sind, so legt man um den äussern Ähnlichkeitspunkt von K,, K, ihre 
Potenzkugel, ebenso für K,, K, und K,,K,. Die drei Potenzkugeln 
schneiden sich in zwei Punkten U*, V*, Betrachtet man diese zwei 
Punkte als Nullkugeln eines Kugelbüschels zweiter Art, so sind die 
zwei Kugeln dieses Büschels, welche eine der vier Kugeln berühren, 
zwei gesuchte Kugeln. Der Kreis durch U*, V*, der zu irgend einer 
der vier gegebenen Kugeln ortogonal ist, schneidet diese Kugel in 
ihren Berübrungspunkten mit den zwei gesuchten Kugeln; die Tan- 
genten in diesen Punkten an den Ortogonalkreis schneiden die Gerade 
U*, V* in den Mittelpunkten der zwei gesuchten Kugeln und die 
Tangentenstücke zwischen Berührungspunkt und Mittelpunkt sind die 
Radien. Durch geeignete Herbeiziehung der innern Ähnlichkeitspunkte 
erhält man die andern sieben Paare gesuchter Kugeln.') Es gibt acht 
Punktepaare U*, V*; jedes trennt die Ortogonalkugel der vier Kugeln 
harmonisch und seine Verbindungsgerade geht durch den Mittelpunkt 
der Ortogonalkugel, u. s. f. 
u Für ausführliche Anordnung der Ähnlichkeitspunkte, Achsen und Ebenen 
sehe man: Einleitung . die synthetische Geometrie. Von Dr. C. F. Geiser (Leipzig, 
B. G. Teubner), S. 1 
Vierteljahrsschrift d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. 63. 1918. 33 
