502 A. Kiefer. ? 
IV. Schneiden von drei Kreisen unter gegebenem 
gleichem Winkel. 
Man denke sich wieder eine stereographische Abbildung, z. B. 
die im vorigen Abschnitt angegebene gemacht, bei der sich die drei 
Kreise in Grosskreise der Kugel verwandeln. Die drei Grosskreise 
begrenzen acht sphärische Dreiecke. Für eines derselben denke man 
sich den Inkreis; dann schneidet jeder Parallelkreis zum Inkreis die 
Seiten des sphärischen Dreiecks unter gleichem Winkel. Hat dieser 
Winkel die gegebene Grösse d, so ist die stereographische Projektion 
des Parallelkreises ein Kreis, der die drei gegebenen Kreise unter 
dem Winkel ö schneidet. Um also zu drei Kreisen die Kreise zu finden, 
die jeden unter dem gegebenen Winkel d schneiden, sucht man, wie 
im vorigen Abschnitt die Punkte U, V, betrachtet sie als Grenzpunkte 
eines Kreisbüschels zweiter Art und sucht seine Kreise, die einen der 
drei Kreise unter dem Winkel ö schneiden. Man kann die Schnitt- 
punkte auch so finden, dass man durch U, V den Kreis legt, der einen 
der drei Kreise unter dem Winkel 90°—ö schneidet; die Tangenten 
in den Schnittpunkten an den Schnittkreis schneiden die Gerade U, V 
in den Mittelpunkten gesuchter Kreise und die Tangentenstücke sind 
die Radien. 
Die übrigen Punktepaare U, V geben die andern Kreise. 
Auch diese Konstruktion ergibt sich planimetrisch, indem ein 
Kreis, der drei Kreise gleichwinklig schneidet, ihre zugehörigen drei 
Potenzkreise rechtwinklig schneidet und daher zum Kreisbüschel zweiter 
Art gehört, das die zwei Schnittpunkte der Potenzkreise zu Grenz- 
punkten hat. 
Analog bei vier Kugeln. Sucht man also für vier Kugeln, wie 
früher, das Punktepaar U*, V*, betrachtet U*, V* als Nullkugeln eines 
Kugelbüschels zweiter Art, so schneiden die Kugeln des Büschels, 
die eine der vier Kugeln unter dem Winkel ö schneiden, alle Kugeln 
unter diesem Winkel. Ebenso für die andern sieben Punktepaare. 
Sind zu vier Kreisen in einer Ebene die gleichwinklig schneidenden 
Kreise zu finden, so nimmt man für die ersten drei Kreise eines der 
Punktepaare U, V und sucht zu U, V als Grenzpunkten die zwei 
Kreise, welche einen von den drei Kreisen und den vierten Kreis 
gleichwinklig scheiden; es gibt zwei solche Kreise, nämlich die Orto- 
gonalkreise zu den zwei Potenzkreisen eines der drei Kreise und des 
vierten Kreises. Zu vier Kreisen gibt es demnach acht gleichwinklig 
schneidende Kreise. — Sind zu fünf Kugeln im Raum die Kugeln zu 
finden, welche alle gleichwinklig schneiden, so nimmt man eines der 
Punktepaare U*, V*, das zu den vier ersten Kugeln gehört und sucht 
