Geometrische Mitteilungen. 503 
zu U*, V* als Nullkugeln diejenigen Kugeln, welche eine der vier 
Kugeln und die fünfte Kugel gleichwinklig schneiden. Es gibt zwei 
solche Kugeln, nämlich die Ortogonalkugeln zu den zwei Potenzkugeln 
von einer der vier Kugeln und der fünften Kugel. Im ganzen treten 
demnach sechzehn Kugeln auf, die fünf Kugeln gleichwinklig schneiden. 
Die acht Punktepaare U*, V* bestimmen acht Kugelbüschel zweiter 
Art. Jede Kugel jedes Büschels schneidet die vier gegebenen Kugeln 
gleichwinklig. Soll der Schnittwinkel ein rechter Winkel sein, so gibt 
es zu den vier Kugeln bekanntlich nur eine gemeinsame Schnittkugel, 
die Ortogonalkugel. Damit steht im Einklang, dass die acht Geraden 
U* V* durch den Potenzpunkt der vier Kugeln gehen und jedes Punkte- 
paar U*, V* die Ortogonalkugel harmonisch trennt. 
V. Schneiden von drei Kreisen unter gegebenen 
ungleichen Winkeln. 
Man denke sich wieder die stereographische Projektion ausge- 
führt, bei welcher die drei Kreise zu drei Grosskreisen der Kugel 
werden. In einem der acht von den drei Grosskreisen gebildeten 
sphärischen Dreiecken mit den Winkeln «, ß, » denke man sich einen 
Kreis gelegt, der die Gegenseiten der Winkel «, ß, y unter den Winkeln 
ö, &, 9 schneidet. Verbindet man jetzt den sphärischen Mittelpunkt 
U’ dieses Kreises mit der Spitze des Winkels « durch einen Gross- 
kreis, so teilt er den Winkel « in zwei Teile «,, «, und eine einfache 
Überlegung zeigt, dass 
sin, + in(90 —E)- 
sine, sin (90° — p)’ 
ebenso für die Grosskreise nach den Spitzen der Winkel Ph; y und 
deren Teile 
sinß, sin(90°—g) siny, _ sin (90° — Ö) 
sinß; sin(90°—0d)’ siny sin(90°— e) 
Das Produkt dieser Verhältnisse ist 1 und daher sind U’ und sein 
diametraler Gegenpunkt V’ die Schnittpunkte von drei Grosskreisen, 
die «, 8, y nach den angegebenen Sinusteilverhältnissen teilen; wenn 
ö, &, @ gegeben sind, so sind für das sphärische Dreieck und sein 
Scheiteldreieck die Punkte U’, V’ bestimmt, und ebenso für die andern 
sechs Dreiecke drei weitere Punktepaare. Wenn man Ö, 2, ändert, 
so gehören zu jeder Gruppe dieser drei Winkel vier bestimmte Punkte- 
paare U’, V’ und umgekehrt gehört zu einem Paar diametraler Gegen- 
punkte U’, V’ eine bestimmte Winkelgruppe ö, &,p mit den andern 
Paaren. Ein Parallelkreis mit den sphärischen Mittelpunkten U’, V’, 
der den Grosskreis, der « gegenüberliegt unter dem Winkel ö schneidet, 
