Geometrische Mitteilungen. 505 
solchen mit einem der gegebenen Kreise, z. B. K,, ergeben sich auch 
so, dass man durch U, V die Kreise legt, die K, unter dem Winkel 
90° — ö schneiden. Jede der vier Geraden U V geht durch den Potenz- 
punkt von K,,K,, K,, und ihr Ortogonalkreis wird von jedem Punkte- 
paar U, V harmonisch getrennt. 
Lässt man sin (90° — 8): sin (90°— 8): (90° — 9), konstant, so 
bleiben die Punktepaare U, V fest und für alle Kreise mit diesen 
Punkten als Grenzpunkten bleiben die obigen Sinusverhältnisse kon- 
stant. Ist noch ein vierter Kreis gegeben und soll sin (90°—Ö): 
sin (90° —e) : sin (90°— 9) : sin (90°— vw) gegeben sein, wo » den 
Schnittwinkel mit dem vierten Kreis bedeutet, so gibt es zu den 
vier Kreisen acht derartig schneidende Kreise. Man sucht zum ersten 
und vierten Kreis die zwei Kreise, die den früheren zu K,, K, ge- 
hörigen Kreisen entsprechen und dann mit U, V als Grenzpunkten 
den Ortogonalkreis zu jedem von diesen zwei Kreisen; ebenso für 
die andern Punktepaare.') 
Auch diese Konstruktionen kann man planimetrisch finden. Die 
Übertragung auf vier und fünf Kugeln im Raum sei dem Leser 
überlassen. — 
1) Anal.-geom. Entw., von 3. Plücker. 1.Bd. $. 123. 
ein Kreis auf einer Kugel, so liegen alle Kugelkreise, die den ersten 
rechtwinklig schneiden, in Ebenen durch den Pol der Kreisebene inbezug auf die 
Tangentialebenen der drei Kreise, (S. 500) — Legt man bei einem Kugelkreis durch 
- einen Punkt desselben und in seiner Tangentialebene an die Kugel eine Gerade, welche 
den Kreis unter dem Winkel ö schneidet, und lässt dann diese Gerade um den Kreis 
rotieren, so beschreibt sie ein Rotationshyperboloid, welches die Kugel längs des 
Kreises berührt: jede Tangentialebene dieser Fläche schneidet die Kugel in einem 
Kreis, der den gewählten Kreis unter dem Winkel ö schneidet. Alle Kreise durch 
gehen und den gewählten Kreis unter dem Winkel ö Seheide, liegen in den zwei 
Tangentialebenen, die durch die zwei Punkte an das Hyperboloid gehen. Hat man 
auf der Kugel zwei Kreise und einen Punkt, so liegen die Kreise, welche die zwei 
ise beziehungsweise unter den Winkeln ö, e schneiden und durch den Punkt Ara; 
in den vier Tangentialebenen, die von dem Punkt an die zwei zu den Kreisen gehörige: 
. Hyperboloide gelegt werden können, Hat man auf der Kugel drei Kreise, so Fer 
. die Kreise, welche die drei Kreise beziehungsweise unter den Winkeln d,&,@ schneiden, 
