506 A. Kiefer. 
VI. Zur stereographischen Kugelprojektion. 
Als Bildebene einer solchen Projektion sei eine Tangentialebene 
T mit dem Berührungspunkt A gewählt, dem Gegenpunkt des Projek- 
tionszentrums A,. Ist P ein Kugelpunkt mit dem Bild P’, so schneidet 
die Tangentialebene des Punktes P die Bildebene T in der mittel- 
senkrechten Geraden p zu AP’, weil die Ebene durch p und den 
Mittelpunkt O der Kugel zu A,P parallel ist. Man kann p’ ebenfalls 
als Bild von P bezeichnen; zu jedem Punkt P der Kugel gehört eine 
Gerade p in T und umgekehrt. Bewegt sich P auf einem Kugelkreis, 
so umhüllt die zugehörige Gerade p’ einen Kegelschnitt, nämlich den 
Schnitt der Ebene T mit dem Kegel, der die Kugel längs des Kreises 
berührt. Dieser Kegelschnitt hat A zum Brennpunkt; denn der Kegel, 
dessen Spitze S der Pol der Kreisebene ist, hat die Kugel zur Dan- 
delinschen Kugel. Aus dem gleichen Grunde ist die Spur der Kreis- 
ebene die zu A gehörige Leitlinie des Kegelschnittes. Wählt man 
umgekehrt in T irgend einen Kegelschnitt mit dem Brennpunkt A 
und legt durch jede Tangente des Kegelschnittes die Tangentialebene 
an die Kugel, so ist der Ort des Berührungspunktes ein Kreis. Der 
in den acht gemeinsamen Tangentialebenen der drei Hyperboloide, die zu den drei 
Kreisen und den Winkeln ö, e, p gehören; die Pole der Schnittkreisebenen inbezug 
auf die Kugel sind die acht "Schnittpunkte der zu den drei Hyperboloiden gehörigen 
Winkeln ist auf S.250 der Cyklographie von W. Fiedler angegeben; die acht gesuchten 
Kreisebenen sind die acht Ähnlichkeitsebenen der vier Kugeln, welche die gegebene 
ne so geht die En des Hartschen Kreises rs die drei äussern Ähnlich- 
t 
liebig; die drei andern berühren je zwei der gegebenen Kreise gleichartig wie der 
gewählte Kreis und den dritten ungleichartig wie der gewählte Kreis. Der Inkreis 
eines sphärischen Dreieckes und derjenige seines Scheiteldreieckes liegen auf einem 
Kegel mit der Spitze im Kugelmittelpunkt. Solcher Kegel gi ibt es vier und aus 
ihnen kann man sechs Gruppen zu zweien bilden. Die zwei Kegel einer Gruppe 
berühren die drei Grosskreisebenen und haben daher noch eine vierte gemeinsame 
Tangentialebene ; in schneidet die Kugel in einem Grosskreis, welcher die vier 
Inkreise auf den zw ei Kegeln berührt. Also für die Ebene: die acht Apollonius- 
schen Kreise ordnen sich in sechs Gruppen zu vieren, wobei die vier Kreise einer 
Gruppe zwei Paare konjugierter Kreise sind, so dass die vier Kreise jeder Gruppe 
von einem fünften Kreis berührt werden; diese sechs Kreise schneiden den Orto- 
nal oder Durchmesserkreis der drei gegebenen Kreise FUeHERIBENE oder im Durch- 
messer. Salmon-Fiedler, Anal. Geom. d. Kegelschn. Art. 163. 
