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gierten Durchmessern haben. Jede dieser Ellipsen berührt, wie be- 
kannt, die Kugelprojektion doppelt und zwar in den Schnittpunkten 
der Polaren der projizierten Oktaederecken inbezug auf die Ellipsen. 
Konstruiert man also diese Ellipsen und schneidet sie mit den Polaren 
der bezüglichen projizierten Oktaederecken, so entstehen zwölf Be- 
rührungspunkte der Kugelprojektion. Die Schnittpunkte der Kugel- 
projektion mit den Projektionen der Oktaederdiagonalen sind die 
Punktepaare, die zum Würfelmittelpunkt symmetrisch liegen und Pol 
und Polare harmonisch trennen. Man kann noch andere Ellipsen an- 
geben, die den Kugelumriss doppelt berühren, nämlich die Projek- 
tionen der in den Diagonalebenen des Würfels gelegenen Kugelkreise, 
ferner die Projektionen der Kreise, deren Ebenen auf den Würfel- 
diagonalen senkrecht stehen und durch drei Würfelecken gehen. 
Nimmt man den Mittelpunkt des Würfels in der Zeichnungsebene 
an, so ist, wie bekannt, die kleine Achse der Kugelprojektion der 
Durchmesser der Kugel und die Tangenten an die Kugel von einem 
Scheitelpunkt der grossen Achse, in ihrer projizierenden Ebene gelegen, 
geben die Projektionsrichtungen. — 
Werden O’A’, O’B’, 0°C’ über O’ hinaus um sich selber ver- 
längert, so kann die es als Projektion eines Oktaeders betrachtet 
werden. Die acht Ecken seines umschriebenen Würfels sind die Pole 
der acht Seitenflächen des Oktaeders inbezug auf seine Umkugel. 
Weiter, ähnlich wie vorhin. 
VIII. Notiz über eiförmige Rotationsflächen. 
In seiner Arbeit, „Eiförmige Drehkörper“ (Schweiz. Pädagog. 
Zeitschrift 1917), teilt Hr. F. Bützberger aus einem Steinerschen 
Manuskripte eine interessante Betrachtung, „Mechanische Zeichnung 
der Eilinie‘, mit, und eibt i im Anschluss daran Literaturnachweise, die 
sich auf sogenannte Cartesische Kurven beziehen. Der Verfasser er- 
laubt sich, darauf hinzuweisen, dass eiförmige Flächen auch entstehen, 
wenn bei einer Kugel die auf einem Durchmesser senkrecht stehenden 
Halbsehnen in einem Verhältnis verkleinert werden, das mit der 
Entfernung von einem Durchmesserendpunkt zunimmt. In dem End- 
punkt A eines Kugeldurchmessers AA, sei die Tangentialebene ge- 
legt und auf der Verlängerung von AA, über A, hinaus sei der Punkt 
OÖ gewählt. Eine veränderliche Parallele zu OA schneide die Kugel 
in P, Q und die Tangentialebene in R. Man verbinde O mit R und 
schneide diese Gerade mit den Senkrechten durch P, Q zum Durch- 
messer AA,. Der geometrische Ort der Schnittpunkte P', Q’ ist eine 
