Über die durch reguläre Polyeder nicht stützbaren Körper. 
Von 
ERNST MEISSNER. 
(Als Manuskript eingegangen am 6. April 1918.) 
Wenn man eine Kugel in eine Schachtel von Würfelform hinein- 
packt, dass sie alle Seitenflächen derselben berührt, so bleibt sie immer 
noch mit drei Freiheitsgraden beweglich (Drehungen um ihren Mittel- 
punkt). Dasselbe gilt von denjenigen Körpern, die von konvexen 
Flächen konstanter Breite begrenzt sind. Ersetzt man den Würfel 
durch ein anderes reguläres Polyeder, so stellt sich das Problem, die 
Körper aufzufinden, die im Innern dieses Polyeders ebenfalls mit drei 
Freiheitsgraden derart bewegt werden können, dass sie stets alle 
Polyederseiten berühren. Diese Aufgabe soll hier für alle fünf regu- 
lären Vielflache behandelt werden. Sie führt auf gewisse Funktional- 
gleichungen auf der Einheitskugel. Denkt man sich das Vielflach 
beweglich, den Körper und seine Oberfläche im Raum fest, so kann 
sie folgendermassen ausgesprochen werden: 
Gegeben sei eines der regulären Polyeder R. Gesucht 
wird die allgemeinste geschlossene (konvexe) Fläche Fr mit 
der Eigenschaft, dass ihr das Vielflach R in allen Stellungen 
so umschrieben werden kann, dass alle seine Seitenflächen 
die Fläche Fr berühren. 
1. 
Es wird zunächst ein Hilfssatz vorausgeschickt. 
Sei x eine reelle feste Zahl zwischen —1 und +1. 
1 dr(a?— 1)" 
Bu dan 
das nte Legendresche Polynom, und 
U,(@)= PA, + P38zP,,, (Pu, —aP)’+A— 2) BE (1) 
R=P,@)= 
