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Jahrg. 65. A. Kiefer. Über Kreise und Kegelschnitte. 467 
des $ 11, Seite 478 und 479 von Jakob Steiners Ges. Werken, 
zweiter Band. ee | 
Berücksichtigt man, dass die zwei Tangenten in einem Schnitt- 
punkt von zwei Kreisen mit den Radien gleiche Winkel bilden, so 
berühren die zwei Tangenten einen Kegelschnitt, der die Kreismittel- 
punkte zu Brennpunkten hat. Projektivisch und auch dual gedeutet, 
entstehen daraus die ersten Sätze der beiden erwähnten 
Abschnitte. Die mittleren Sätze kann man aus Symmetrie- 
gründen der Figur der zwei Kreise entnehmen. Einen weiteren 
Satz gibt Nr. 12. 
Wenn man in den Formeln 13 und 14 dem Produkt Zr einen 
konstanten Wert beilegt, so geben sie eine Eigenschaft der Lemnis- 
kate: Legt man bei einer Lemniskate um jeden der beiden 
Brennpunkte A,B, als Mittelpunkte, einen Kreis, so dass sie 
sich auf der Lemniskate schneiden, und zieht man die je- 
weiligen äussern und innern gemeinsamen Tangenten der 
zwei Kreise, so liegen die Berührungspunkte auf zwei festen 
konzentrischen Kreisen und die Tangenten selber umhüllen 
zwei Kegelschnitte mit den Brennpunkten A, B. 
Wenn eine Gerade sich so bewegt, dass das Produkt ihrer senk- 
rechten Abstände von zwei festen Punkten A, B, den Brennpunkten des 
umhüllten Kegelschnittes, konstant bleibt, so gibt es zwei andere feste 
Punkte, 4’, B’, für welche die Summe der Quadrate der senkrechten 
Abstände von der beweglichen Geraden konstant bleibt. Diese aus- 
gezeichneten Punkte A, B’ bilden die Gegenecken eines 
Quadrates, für welches A, B die andern Gegenecken sind. 
Angenommen nämlich, die Lote von A,B auf die Gerade seien R,r 
und die Lote von A’, B’ auf die gleiche Gerade seien R',r', so bilden 
die Projektionen der zwei Diagonalen AB, AB’ die Katheten eines 
rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypothenuse ce. Also 
(RT #(R’ - Fr)’ = c?; aber wegen der gemeinsamen Mitte 
von A, Bund 4,B R+r=R+-Hr. 
Indem man die zweite Gleichung quadriert und die erste von 
ihr subtrahiert, entsteht 
ARr=2(R?+r’)—e, d.h.: 
Wird eine Gerade so bewegt, dass die Summe der Qua- 
drate ihrer senkrechten Abstände von zwei festen Punkten 
A', B' konstant bleibt, so umhüllt die Gerade einen Kegel- 
schnitt mit den Brennpunkten A,B, so dass A B’ und ABdie 
Diagonalen eines Quadrates sind. Der Kegelschnitt ist El- 
lipse oder Hyperbel, je nachdem 2 (R?+r’)z 0? ist, 
Vierteljahrsschrift d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. 65. 1920. 30 
