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Unsere Aufgabe reduziert sich jetzt darauf, die „funktionale 
Differentialgleichung“ 
(12) ='Fit; s) 
für x bei vorgegebenem Anfangswert für 7 — 0 im Intervall 0<r<1 
zu integrieren. Es steht zu erwarten, dass jede der drei in der 
Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen zum Existenz- 
beweis benutzten Methoden hier mit gleichem Ei anwendbar ist; 
nämlich 
1. die Differenzenmethode (durch welche der kontinuierliche Pro- 
zess zunächst in kleine diskontinuierliche Schritte aufgelöst wird), 
2. die Methode der successiven Approximation, 
3. (falls die e,, analytische Funktionen von r sind): die Cauchy’sche 
Potenzreihenmethode. 
Wir wollen uns, weil dadurch die Abschätzungen am einfachsten 
werden, der letzten Methode bedienen. Diese im 2, Teil zu erör- 
ternde Potenzreihenintegration wird aber zunächst nicht für das 
ganze Intervall O<r<1 zum Ziele führen, sondern etwa nur in dem 
Teilintervall O<r<r, konvergieren. Dann wird man versuchen, 
von z, ab mit dem Anfangswert r(r,) die Integration durch eine 
Reihe, die nach Potenzen von r — r, fortschreitet, zu vollziehen, und 
so fort. Es wird die Aufgabe des 3. Teiles sein, zu zeigen, dass man 
durch endlichmalige Wiederholung dieses Prozesses der unmittelbaren 
analytischen Fortsetzung bis zur Stelle = 1 gelangen kann. So erhält 
man eine eindeutig durch den Anfangswert bestimmte Lösung unserer 
funktionalen Differentialgleichung im Intervall O<r<1, die ana- 
lytisch von r abhängt. Man sieht: es wird hier der Anlage nach die 
gleiche Methode benutzt, wie sie den’ weitreichenden Untersuchungen 
S. Bernsteins über die Ver allgemeinerung des Dirichlet’schen Prinzips 
zugrunde liegt.') 
Damit ist der Existenzsatz, nicht aber der Unitätssatz erledigt. 
Nehmen wir jedoch in der soeben skizzierten Untersuchung statt 
der Kugel als Ausgangsfläche eine beliebige konvexe Fläche, so 
lautet unser Resultat: Ist r= r,(($8)) eine gegebene konvexe, auf die 
Einheitskugel abgebildete Raumfläche, [r,do = 0; ist ferner eine kon- 
tinuierliche Schar abstrakter konvexer Flächen (s){O <t<1} gegeben 
derart, dass die Koeffizienten von s, analytische Funktionen von z im 
angegebenen Intervall sind und 8, die erste Fundamentalform von ty 
ist, so gibt es eine einzige, analytisch vom Parameter ı abhängige Schar 
!) Math. Ann. Bd. 62 (1906), S. 253—271 und Bd. 69 (1910), $. 82-136. 
