Bestimmung einer geschlossenen konvexen Fläche durch ihr Linienelement. ‘ 49 
konvexer Raumflächen = r+((£)), so beschaffen, dass xı die Form $. 
zur ersten Fundamentalform hat, ferner beständig 
(13) Fred Deo ah It Se Ge |do = 0 
ist und vr für = 0 gleich dem gegebenen rt, wird. 
Sind nunr=tr, (($)) und r—=ri(($)) zwei konvexe Flächen mit 
demselben Linienelement s,, 
fudo=0, firdo = 0, 
so verbinde man wieder (s,) mit (s°) durch eine analytische Kette 
(s,) abstrakter konvexer Flächen. Indem wir unser Resultat mit 
der Modifikation anwenden, dass wir jetzt r,((&)), bezw. ı7((&)) als 
Ausgangsfläche nehmen, erhalten wir zwei analytische Ketten r,((£)) 
und r*((&)) von konvexen Raumflächen mit folgenden Eigenschaften: 
es ist 
(14) (de) = (di) = 8; 
jede der beiden Flächenscharen erfüllt die Na em „ige (13), undrr, 
reduziert sich für =1 auf r,, ı* auf r{. Die beiden Flächen 
r=1t,((8)), r= v(($)) haben als das Linienelement der Kugel. Da 
aber die Kugel als Ganzes nicht verbiegbar ist, muss jede dieser beiden 
Flächen selber die Kugel sein; da ferner die Kugel keine andern 
isometrischen Abbildungen auf sich selbst zulässt als Drehungen (und 
Drehspiegelungen), so muss r$ durch eine auf die Komponenten von 
tr, auszuübende orthogonale Transformation aus r, hervorgehen. Durch 
dieselbe orthogonale Transformation möge r, in r;* übergehen. Dann 
sind die Gleichungen (13), (14) auch für r;* erfüllt, und da die beiden 
Ketten r*, r”* dasselbe Ausgangselement r* N muss infolgedessen 
für alle Werte von r die Gleichung r* —r’* gelten. Wenden wir 
dies insbesondere auf r—=1 an, so ist damit-gezeigt, dass r}((&)) durch 
orthogonale Transformation aus t,((&)) hervorgeht. 
Die Anwendung unserer Methode erheischte den Beweis des 
Hülfssatzes, dass (s°) mit jeder gegebenen abstrakten konvexen Fläche 
(8,) durch eine analytische Kette ebensoleher Flächen (s,) { <t<1} 
verbunden werden kann. Nun ist eine abstrakte Fläche (s) durch die 
Form s nicht nur mit einer Längen-, sondern auch mit einer Winkel- 
messung versehen, kann folglich als eine (geschlossene, einfach zu- 
sammenhängende) „Riemannsche Fläche“ betrachtet werden'). In der 
Funktionentheorie wird gezeigt, dass man eine solche konform auf 
die Kugel abbilden kann. Es genügt deshalb bei unserer ganzen Unter- 
suchung, sich auf solche quadrierte Linienelemente s zu beschränken, die 
!) .c. Anm. !) S.44, $ 7, namentlich S. 40. 
Vierteljahrsschrift d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. 61. 1916. 4 
