DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. ii 



Je m'arrêterai aussi sur quelques particularités qui peuvent 

 résulter de la position de la courbe par rapport à l'axe des x, 

 et qu'il est important de connaître d'avance , parce que leur 

 existence peut simplifier beaucoup le problème de la résolu- 

 tion des équations. 



12. S'il arrivait que la courbe 7=9 fut quelque part tan- 

 o-ente à l'axe des x (fig. i. a), elle aurait alors deux points 

 communs avec cet axe au point de contact, et par conséquent 

 9 aurait deux racines égales à l'abcisse de ce point de contact. 



Ce cas a évidemment lieu lorsqu'une des racines de 9 satis- 

 fait à la condition 9' = o, ou, en d'autres termes, lorsque, pour 

 une certaine valeur de x^ on a à la fois 



cp(a;)=:o et <p'(a?) = o. 



i3. On peut encore concevoir qu'un des points d'inflexion Fig. i, p.. 

 de la courlDe ait sa tangente parallèle aux x^ auquel cas de- 

 vraient exister ensemble, pour une certaine valeur de x, les 

 deux équations 



9' {x) = O , 9" (x) := O. • 



14. Enfin rien n'empêche d'imaginer que, dans ce dernier h. 

 cas, la tangente au point d'inflexion ne soit l'axe des x lui- 

 même; alors la courbe aurait trois points de commun avec 

 l'axe des x au point d'inflexion, et le polynôme ? trois raci- 

 nes égales à l'abcisse de ce point d'inflexion. Cette circonstance 

 est visiblement indiquée par la réunion des conditions des 

 n<*s 12 et ï 3, c'est-à-dire, par l'existence simultanée des trois 

 équations 



9(a:)==:o, 9'(a;)==o, 9'(a;) = o. 



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