DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 29 



b = é très-petit, et par conséquent négligeable dès la seconde 

 puissance. Mais il faut observer que notre formule est tout- 

 à-fait indépendans de cette dernière considération, et que non- 

 seulement l? — cE) ne doit pas y être très-petit, mais même qu'il 

 peut être tel qu'on voudra pourvu qu'entre aetb^(j>' n'ait point 

 de racines réelles, ce qui est tout différent. Nous pouvons donc 

 établir que la règle de Newton n'est qu'un cas particulier de 

 celle que nous venons de proposer et que nous appellerons 

 règle des tangentes , pour rappeller l'originede nos for- 

 mules. 



43. Une conséquence nécessaire de tout ce que nous venons 

 de dire , c'est que la règle de Newton , comme celle des tan- 

 gentes, est rigoureusement applicable pourvu que ©"n'ait point 

 de racine réelle entre les limites données. C'est là l'algorithme 

 que Lagrange croyait impossible de trouver pour établir la 

 légitimité de l'emploi de cette formule, et devant lequel s'é- 

 vanouit l'objection qu'il a faite contre son usage. 



44- Nous avons vu que les formules du n^ 4^ t donnent des 

 valeurs toujours plus approchées de la racine; il est important 

 en outre de savoir jusqu'où peut aller l'erreur commise en 

 s'arrêtant a une des valeurs données par ces formules. Beaucoup 

 d'analystes qui se sont occupés de la règle de Newton, paraissent 

 croire qu'en réduisant deux termes successifs en décimales, 

 les caractères communs à ces deux termes appartiennent à la 

 vraie racine, mais il est facile de concevoir que pour que cela 



ait lieu, il faudrait que ~ fut toujours décroissant entre la racine 



et la limite b , d'oii l'on est parti pour commencer la série , ce 



qui équivaut à dire qu'entre h et la racine , ~, n'a ni maximum 



