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3o. Soit maintenant dans l'espace une sphère quelconque Fig. s. 

 GB'Aj sur laquelle on projette stéréograpliiquement la causti- 

 tique secondaire avec l'hexagone qui s'y trouve inscrit, on aura 

 sur la sphère une courbe pour laquelle le théorème énoncé 

 précédemment sera encore vrai. Elle aura également un point 

 L' qui répond au pôle des caustiques secondaires, et elle jouira 

 de différentes propriétés; nous la nommerons spfiéricaustique. 

 Il est bon de se rappeler, d'après deux théorèmes connus, que 

 toutes les circonférences se projettent stéréographiqaement sur 

 la sphère selon d'autres circonférences , et que les angles que 

 formaient les lignes en se coupant sur le plan, ne varient pas 

 en passant sur la sphère. 



3i. Prenons ce point L' pour sommet d'un nouveau système 

 de projections stéréographiques , et projetons à son tour la 

 sphéricaustique sur un plan correspondant à ce nouveau som- 

 met : l'hexagone composé d'arcs de cercles passant par le pôle 

 L', sera projeté en même temps; et les côtés de cet hexagone 

 se couperont encore deux à deux en trois points qui ne cesse- 

 ront pas avec le pôle d'être sur une même circonférence. Ob- 

 servant de plus que les six cercles, qui passent par le sommet 

 L' de projection , se projettent cette fois suivant six droites , 

 ainsi que le système qui contient leurs intersections ; nous en 

 conclurons que dans la nouvelle projection de la sphéricaustique, 

 l'hexagone rectiligne inscrit jouit de cette propriété, que ses 

 côtés opposés se coupent deux à deux en trois points , lesquels 

 sont en ligne droite : mais cette propriété ne convient qu'aux 

 courbes du second degré; nous en conclurons que la nouvelle 

 projection appartient aux sections coniques. 



De là résulte que réciproquement les caustiques secondaires 

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