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NOTES. 



Fii;. G. 



Quand on prend le rayon pour unité , en intégrant et observant que la 

 constante doit être nulle et que ^ sïn. 2 ce -\- a = abo~\-boc = abc, on a 



surface, s =abc-\-\ iri" a.'±zini sin «. 



Le signe supérieur a rapport à la surface ads , et le signe inférieur à la 

 partie ats du nœud. On déduit de là, pour la différence, dts's = é/wsin a : 

 ainsi cette partie est exactement quarrable et quand on fait a = 90° , on a 

 4i7?i pour valeur de sagds — s'tag'y ou bien quatre fois la valeur du 

 triangle ccig. 



Quand on fait la somme des quantités précédentes, on a 



ads -{-ats =2abc-\-7n'' a. 



Ce qui fait voir que la surface de la courbe entière , en y comprenant le 

 noeud, vaut deux fois le cercle générateur augmenté de la surface d'un au- 

 tre cercle de rayon m. Par exemple , pour la trisectrice 7n = 1 , et la sur- 

 face entière vaudra trois fois la surface du cercle générateur. Pour la caus- 

 tique principale , on aurait six fois la valeur du cercle générateur. 



Rectification. 



Nous chercherons maintenant la valeur du contour d^une caustique 

 secondaire. L'arc d'une courbe vaut en général 



ar 



c = /cZa\/p' + p'" -j-C. 



pour simplifier , nous désignons par |o', p", etc. les coefficiens différentiels 

 successifs dans le développement de p. On aura donc à intégrer l'équation 

 suivante 



arc = f da. l/'m.* -H 4 + 4"* ^^^ " "^ ^* 



mais cette formule n'est intégrable par les procédés ordinaires que dans le 

 cas où m = 2. Ou prouve alors que la courbe vaut quatre fois son diamètre. 



