NOTES. i35 



Ce qui a déjà été démontré (i). Nous cherclierons à rapporter Pintégra- 

 tion précédente à celle d'arcs d'ellipses. Remarquons d'abord que puisque 

 cos a = 1 — 2 sin ja, on peut écrire 



ou bien, en faisant a = 2-j-??z et e = \/i!)Tn. 



; = / dcf. \/a^ — é" sin -^ a + C. 



arc 



Comparons cette formule à celle qui donne la valeur d'un arc d'ellipse. 

 En supposant a et e le demi-grand axe et l'excentricité (2) , on a 



arc d'ellipse = / c?(p \/a^ — é" sin"" ç j • 



si l'on fait (yass^a, on aura d(f=-^da. et en substituant; 



arc d'ellipse = \f dot. V^a" — é^ siri^ \ a •* 



en comparant cette valeur a celle qui donne l'arc de la caustique secondaire, 

 on obtient 



2 arcs d'ellipse = arc de la caustique secondaire , 



c'est-a-dire, que l'arc de la caustique qui répond à l'angle a, vaut le double 

 de l'arc d'ellipse qui correspond à l'angle \ a. On a d'ailleurs, pour 

 déterminer le grand axe , l'excentricité et le petit axe , les équations 

 à" =['2-\-7ny , e^ = 8m, ainsi les deux demi-axes auront pour valeur 



a = 2 -j- 77Z , et b = 2 772. 



Voici comment il faudrait construire ces valeurs : supposons qu'on ait à 

 déterminer l'arc d'ellipse qui correspond à l'arec' S. Après avoir décrit *'S 4- 



(1) Hist. des math, de Montucla. 



(9) Traite de calcul difFér. et inte'g. par Lacroix. 



