154 NOTES. 



l'ellipse iAi',en faisant iL=:2-i-??i, et LA = 2 — m; on partage l'angle 

 SLo' en deux parties égales par la droite L^ et du point g, on abaisse 

 la perpendiculaire gp , alors le double de l'arc pm est égal à ^'S. 



Le contour d'une caustique secondaire vaut donc le contour d'une 

 ellipse qu'on sait construire. Quant à celle qui offre un point de rebrous- 

 sement et qui est unique dans son espèce, l'ellipse se réduit à une droite, 

 puisque le petit axe est nul. 



F^olumes de révolution. 



Les valeurs des volumes et des aires qu'engendrent les caustiques se - 

 condaires en tournant autour de leurs diamètres pris pour axes de révolu- 

 tion , offrent encore des propriétés remarquables. Pour les déterminer , 

 nous aurons encore recours aux équations polaires. Nous allons d'abord 

 donner les équations générales que l'on ne trouve point dans les traités 

 élémentaires. 



Observons que l'élément de surface vaut \p^cla^ et que le centre de gra- 

 vité de ce petit triangle est éloigné de l'axe d'une distance égale a \psina.. 

 On a alors par le même théorème de Guldin , pour la valeur du volume 

 qu'engendre cette petite surface dans sa révolution. 



vol. de révol. = f t: /p^ sin a. da. -f- C. 



On obtient aussi de la même manière pour la valeur d'une surface de ré- 

 volution , 



surf, de révol. = 2 tt /p y" ^" -\- ç' " sin ada-^C. 



Cela posé , la valeur du volume de révolution d'une caustique secondaire , 

 deviendra après l'intégration , 



vol. de révol. = C — . 



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Pour déterminer la constante, faisons a = o, nous aurons /i=2±:7n = A, 



d'où C= — , et partant 



vol. de révol. =-^ [A* — ^^]. 



